Trigonometri Nedir – Trigonometri Konu Anlatımı

Trigonometri Nedir – Trigonometri Konu Anlatımı
Trigonometri, üçgenlerle ilgili çalışmalar yapılan bir bilim dalıdır. Matematik biliminin yan dallarından biridir. Trigonometri sözcüğü Yunancada “üçgenlerin ölçülmesi” anlamına gelir. Bu bilim dalı, üçgenlerin açıları ve kenarlarıyla, bunlar arasındaki bağıntıları inceler.
Bir ırmağın enini üzerinden geçmeden nasıl ölçebilirsiniz? Yahut, tepesine kadar çıkmadan yüksek bir binanın yüksekliğini bulabilir misiniz? Trigonometri, bu tür problemlerin çözümünde yardımcı olur. Denizciler ve pilotlar da rotalarını belirlemekte trigonometriden yararlanırlar. Trigonometri, uzunlukları, cetvelle veya metreyle ölçmeksizin bulmamıza yardımcı olur. Bu hesaplarda, bilinen uzunluk ve açılardan yararlanarak, bilinmeyen uzunluk bulunur. Bilinmeyen uzunluklar, üçgenler oluşturularak hesaplanılır.
Yüksek bir yapının yüksekliğinin bulunmak istendiğini düşünelim. Yükseklik, dama çıkıp, aşağıya bir şerit metre sarkıtarak ölçülebilir. Fakat bu hem güç, hem de tehlikelidir. Bunun yerine, yapının yerdeki gölgesinden yararlanılarak yüksekliği daha kolay bulunabilir. Gölgenin uzunluğu, yerde kolayca ölçülebilir. Bina tepesinden geçerek gelen Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı da, sekstan denilen özel bir araçla belirlenebilir. Yapının yüksekliği ve gölgesinin boyu, bir üçgenin iki kenarını oluştururlar. Bunlar, bir ABC üçgeninin BC ve AB kenarlarıdır. AC kenarını ise, Güneş ışınları oluşturur. Böylece üçgenin üç kenarı ortaya çıkar. A noktasındaki açı Güneş ışınlarının yerle yaptığı açıdır.
Gölgenin boyunun ölçülerek 7,5 metre, açının da 60° bulunduğunu düşünelim. Bu bilgilerle bir üçgen çizilebilir. Çizilecek bu üçgenin kenar uzunluğunun 7,5 m. olması gerekmez. Bir ölçekle daha küçültülerek çizilebilir, örneğin, 1 metre 1 cm. ile gösterilebilir. Bu durumda, şekli asıl üçgene benzeyen, fakat ondan daha küçük bir üçgen çizilmiş olur. Çizilen küçük üçgenin BC kenarı cetvelle ölçülüp, ölçeğe göre metreye çevrilerek yapının yüksekliği bulunur. Bu örnekte sonuç 13 m. olacaktır.

Bu yükseklik bulma yöntemi fazla elverişli değildir. ölçekli olarak çizmek fazla zaman alır. Bunun yerine, aynı bilgilerden ve trigonometriden yararlanarak da yükseklik hesaplanabilir.
Yapının yüksekliği, gölgesinin uzunluğu ve Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı arasında belirli bir oran vardır. Bu orana, açının teğeti adı verilir. Açının teğeti, yapı yüksekliğinin, gölge uzunluğuna bölümüne eşittir. ABC üçgeninde, BC kenarının AB’ye oranıdır.
Bu orandan yararlanılarak yapının yüksekliği hesaplanabilir. Yapının yüksekliği, yerdeki gölgenin uzunluğuyla, A açısının teğetinin çarpımına eşittir. Gölgenin uzunluğu 7,5 m. olarak ölçülmüştür. 60 derecelik açının teğeti nedir? Bunun değeri 1,732’dir. Bu değer, çeşitli açıların teğetlerini gösteren trigonometri listelerinden bulunur.
Şimdi yapılacak iş, 7,5 sayısıyla 1,732’nin çarpımını bulmaktır. Sonuç 13 m.’dir; böylece yapının yüksekliği bulunmuş olur. Bu sonuç kesin olup ölçekli bir çizimi gerektirmez.
Teğetten başka, üçgenin kenarları ve açıları arasında daha değişik bağıntılar da vardır. Sinüs ve kosinüs bunlardan ikisidir. Bunların ne olduğunu anlamak için, ABC üçgeninde AC kenar uzunluğunu bulmak istediğimizi düşünelim. Bu uzunluk Güneş ışınlarının yerle yapı arasındaki boyu olmaktadır.
Yapının gölgesinin boyunun (AB kenarı), AC’ye bölümü, 60 derecelik açının kosinüsüne eşittir. Buna göre, AC boyu, gölgenin boyunun kosinüs 60°’ye bölümüne eşit olmaktadır. Cos 60°’yi yine matematik tablolarından bulabiliriz. Bu değer
0,500’dür. 7,5 m’yi bu değere bölerek, AC uzunluğunu 15 m. olarak buluruz.
Yapının yüksekliğini, AC boyundan yararlanarak bulmak isteyelim. 60 derecelik açının sinüsü, BC boyunun AC’ye bölümüne eşittir. Dolayısıyle, yapı yüksekliği, AC ile açının sinüsünün çarpımı kadardır. Matematik tablolarından, sin 60°’vi 0,866 olarak buluruz. Bu değer, 15 m. olan AC boyuyla çarpılarak, yapı yüksekliği yine 13 m. olarak bulunabilir Aynı sonuç açının teğetini kullanarak da hesaplanmıştır.
Aynı yolla, bir duvara dayanmış merdivenin boyu ve duvarın yüksekliği, duvarla merdivenin alt ucu arasındaki uzaklık ve merdivenin yerle yaptığı açı ölçülerek, hesaplanabilir.
Yukarıda tanımlanan oranlar, trigonometride en çok kullanılan değerlerdir. Sinüs, kosinüs ve teğet bir açıya bağlı olarak, üçgenin kenarlarının birbirine oranlarını verirler. Böyle bir üçgenin dik üçgen olması gereklidir. Yani, üçgenin açılarından biri 90° olmalıdır. Dik olmayan üçgenlerde, daha karışık oranlar vardır.
Tanımlanan üç temel bağıntı, şekildeki DEF üçgeninde yeniden açıklanmaktadır. Burada açı (x) olarak gösterilmektedir. X açısının değeri, sıfır ile 90° arasında herhangi bir değer olabilir. Açının karşısındaki kenara karşı dik kenar denir. Dik açının karşısındaki kenarın adı hipotenüstür. X açısının yanındaki diğer kenara ise komşu dik kenar adı verilir.
X açısının sinüsü, karşı dik kenarın hipotenüse oranına eşittir. Kosinüsü ise, komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır. Açının teğeti de karşı dik kenarın, komşu dik kenara oranıdır.
Sinüs, kosinüs ve teğet değerleri, yalnız X açısının değerine bağlıdırlar. Üçgenin büyüklüğüyle ilgili değildirler. Farklı büyüklükte iki dik üçgende, X açıları aynıysa, bu değerler de aynıdır.
Sinüs, kosinüs ve teğet dik üçgenlerde iki kenarın birbirine oranı şeklinde tanımlanırlar. Dolayısıyle, herhangi bir birimleri yoktur. Yalnızca birer sayıdırlar. Açının büyüklüğüne bağlı olarak değişirler. X açısı 0°’den 90°’ye değişirken, Sinüs 0’dan 1’e, kosinüs 1’den 0’a doğru değişen değerler alırlar. Fakat X açısının teğeti 1’den sonsuza kadar değişir. Sonsuz, hesaplanamayan büyüklükte bir sayı demektir.

Yorum yazın