Tensör Analizi Nedir

Tensör Analizi Nedir

tansör çözümlemesi, matematiğin, koordinat sisteminin değişmesinden etkilenmeksizin geçerli kalan bağıntı ya da kuralları konu edinen dalı. Böyle bağıntılar eşdeğişkin (kovaryant) bağıntı olarak adlandırılır. Tansör kavramı, matematiksel katmanlı uzayların incelenmesinde karşılaşılan geometrik cisimlere uygulanabilecek işlemleri belirli kurallara bağlamak amacıyla, vektör kavramı genişletilerek ortaya konmuştur.

Vektörler, hem büyüklüğü hem de doğrultusu ve yönü olan niceliklerdir; bir vektör, yönlü bir doğru parçası (ok) olarak betimlenebilir. Vektörler paralelkenar kuralı uyarınca birbirleriyle toplanıp birbirlerinden çıkarılabilir. Bir vektör, paralelkenar kuralı uyarınca bileşenlerine ayrılabilir; vektörün bileşenleri her koordinat sistemi için farklıdır. Koordinat sistemi değiştirildiğinde, vektörün bileşenleri matematiksel bir dönüşüm kuralı uyarınca değişir. Paralelkenar kuralından çıkarılabilen bu dönüşüm kuralının iki önemli özelliği vardır: Belirli bir koordinat sisteminden başlanır ve art arda bir dizi değişimden sonra ilk başlanan sisteme dönülürse, vektörün bileşenleri de başlangıçtaki değerlerini alırlar, ikinci özellik şudur: Vektörler arasındaki bağıntılar (örneğin, üç U, V, W vektörü arasındaki 2U + 5V – 4W gibi bir bağıntı), koordinat sistemi ne olursa olsun, bu vektörlerin bileşenleri için de geçerlidir.

Bir vektör, n boyutlu uzayda n tane bileşeni bulunan ve bu bileşenler yukarıdaki özelliklere sahip bir dönüşüm kuralı uyarınca dönüşüme uğrayan bir büyüklük olarak göz önüne alınabilir. Aslında vektör, bileşenlerinden bağımsız, nesnel bir varlıktır, ama herhangi bir koordinat sistemindeki bileşenleri aracılığıyla ele alınır.

Tansör, belirli bileşenleri olan ve bu bileşenleri koordinat sistemi dönüşümleri altında belirli bir dönüşüm kuralı uyarınca değişime uğrayan bir nesnel varlık olarak tanımlanır; bu dönüşüm kuralı vektör dönüşüm kuralının genelleştirilmiş biçimidir ve yukarıda belirtilen iki temel özelliği içermelidir. Gösterim kolaylığı sağlamak amacıyla koordinatlar l’den n’ye kadar numaralanır; tansörün bileşenleri de altin-disler ve üstindisler eklenmiş bir harf ile gösterilir, bu indislerin her biri l’den n’ye kadar değişen değerler alabilir. Örneğin bileşenleri T’f olan bir tansörün, a, b ve c indislerinin her biri l’den n’ye kadar değerler alabileceğinden, n3 tane bileşeni vardır. Skaler nicelikler ve vektörler, tansörlerin özel durumlarıdır; skaler niceliğin her koordinat sisteminde yalnızca bir bileşeni, vektörün ise n tane bileşeni vardır. Tansörlerin bileşenleri arasındaki herhangi bir doğrusal bağıntı (örneğin lRf„, +2S°bcd -2>Ticd =0) bir koordinat sisteminde geçerli ise, bütün koordinat sistemlerinde de geçerlidir; bu nedenle böyle bir bağıntı, nesnel ve koordinat sistemlerinden bağımsız bir bağıntıdır.

İki tansör özel önem taşır; bunlar temel tansör ve eğrilik tansörüdür. Temel tansörün uygulamaları arasında vektör bileşenlerinden vektörün büyüklüğünün bulunması da yer alır. Yalın bir örnek olarak iki boyutlu uzayda birbirine dik koordinat eksenleri göz önüne alalım. Çizimde bir V vektörü ile bu vektörün Vı ve V2 bileşenleri görülmektedir. OAP dik üçgenine Pythagoras teoremi uygulanarak V vektörünün büyüklüğünün karesi

OP2=(Vı)2 + (V2)2 olarak bulunur. Temel tansör bu eşitlikte yer almakta, ama 0 ve 1 katsayılarının yazılmamış olması nedeniyle hemen görülmemektedir. Aynı eşitliği

OP2=l(Vı)2 + 0 V1V2+O V2Vı + l(V2)2 biçiminde yazarsak, temel tansörün (1,0,0,1) bileşenleri ortaya çıkar. Yatık (birbirine dik olmayan) koordinatlar kullanıldığında, OP2 değerini veren eşitlik

OP2=gll(Vl)2+gl2VlV2+g2lV2Vl+g22(V2)2 biçimine girer; burada gn, gn, g2i, g22, temel tansörün bileşenleridir.

Temel tansör aracılığıyla, eğrilik tansörü olarak adlandırılan daha karmaşık bir tansör tanımlanabilir; eğrilik tansörü, ait olduğu n boyutlu uzayın eğriliği hakkında çeşitli bilgiler içerir.

Tansörler geometri ve fizikte yaygın olarak kullanılır. Einstein genel görelilik kuramını ortaya koyarken, fizik yasalarının hangi koordinat sistemi kullanılırsa kullanılsın aynı kalması gerektiğini öne sürmüştü; bu görüşten yola çıkarak bu yasaları tansör denklemleri biçiminde ifade etti. Özel görelilik kuramı uzay ile zamanın, birbirlerinden ayrılamaz dört boyutlu bir uzay-zaman oluşturacak biçimde ilişkili olduğunu ortaya koymuştu. Einstein, kütleçekiminin yalnızca dört boyutlu uzay-zamana ilişkin temel tansör cinsinden ifade edilmesi gerektiğini öne sürdü. Kütleçekiminin göreli yasasının ifadesi için uzay-zamandan elde edilen temel tansör ile eğrilik tansörü, göreli kütle-çekimi yasasının ifadesi için iki yapıtaşı oluşturuyordu. Bunları kullanarak Einstein kütleçekimi yasasını bir tansör denklemi biçiminde ifade etti; bu denklemde kütleçekimi bir kuvvet olarak değil, uzay-zamamn eğriliği biçiminde ortaya çıkıyordu.

Tansör çözümlemesinin sistemli kuramını İtalyan matematikçi Gregorio Ricci 1887-96 arasında ortaya koydu; bu kuramı Ricci’nin öğrencisi Tullio Levi-Civita daha da geliştirdi. Einstein’m genel görelilik kuramının büyük başarısı, tansör çözümlemesine ve uygulamalarına karşı yoğun bir ilginin ortaya çıkmasına neden oldıı.

Yorum yazın