Sayı sistemleri

Sayı sistemleri nedir – Sayı sistemleri konu anlatımı
Sayma, matematikte en temel işlemdir. Sayma bilmeyen kimse yoktur. Bazı ilkel toplumlarda üçten büyük sayılar için özel sözcükler kullanılmayıp, sadece çok kavramı kullanılır, ama yine de sayma yapılabilirdi. Bunun için, sayılar vücudun çeşitli kısımlarıyla belirtilirdi, örneğin 5 sayısı “sağ elin tüm parmakları” veya 8 sayısı “sol elin orta parmağı”, vb. olurdu.
Sayma işlemi için 1, 2, 3, … gibi doğal sayılar dizisi kullanılır. Günlük yaşamda ve matematikte, doğal sayıların yanı sıra, başka sayılar da kullanılır.
Doğal sayılar koyun, insan, taş, vb. gibi nesneleri saymak için uygundur. Burada nesnenin büyüklüğü önemli değildir.
Doğal sayılar bir küme oluştururlar. Belli bir düzene göre sıralanabilirler ve aralarında ilişkiler kurulabilir. Herhangi iki doğal sayının toplamı yine üçüncü bir doğal sayıdır. Yine, iki doğal sayı çarpılarak bir başka doğal sayı elde edilebilir. Demek ki, sadece toplama ve çarpma işlemleri gözönüne alındığında, doğal sayılar kapalı bir küme oluştururlar. Bunun anlamı şudur: Toplama veya çarpma işlemi ile kümenin dışına çıkılamaz. Doğal sayıların toplama ve çarpmasının sonucu yine bir doğal sayıdır.
Çıkarma işleminde durum değişir. Örneğin 5’den 7 çıkarılırsa bu işlemin sonucu, doğal sayılar içinde olamaz. Uzun süre matematikçiler doğal sayıların dışında sayı olmadığını savundular. Ancak bu arada, “sayma sayıları” listesine yeni bir sayı daha yani sıfırı eklediler.
Sıfırı temsil eden bir simge ilk defa, Milâttan çok önce Babilliler tarafından kullanılmıştır. Babilliler büyük sayıları göstermek için, tıpkı günümüzde olduğu gibi, sayı grupları kullanmışlardır. Negatif sayılar: Sıfırdan sonra listeye yeni sayılar eklenmesi, negatif sayıların bulunması ile mümkün oldu. Negatif sayılar, doğal sayıların tersine, nesneleri saymakta kullanılamazlar. Bunlar “sıfırdan küçük” miktarları gösterirler. Sıfırdan küçük kavramını bir çakıl taşı kümesine uygulamaya kalkarsak anlamsız olur. Ancak, başka tür nicelikleri gözönüne getirdiğimizde bir anlam bulmak kolaylaşır.
Sıcaklık ölçmek için termometre icat edildiğinde, bir “sıfır” sıcaklığı seçmek gerekiyordu. Ancak, “en düşük sıcaklık” olarak alınabilecek evrensel özel bir değer bilinmiyordu. Bu durumda genellikle suyun donma sıcaklığı sıfır olarak alındı. O zaman, bu değerden düşük sıcaklıkları belirtmek için negatif sayılar kullanmanın çok elverişli olduğu görüldü. Eksi 20 derece santigratın anlamı, Santigrat ölçeğinde sıfırın altında 20 derece demektir.
Bir depodaki suyun normal düzeyini sıfır düzeyi kabul edelim. Bu durumda negatif sayılar, suyun normal düzeyden ne kadar alçaldığını gösterirler. Negatif sayıların kullanışlı olduğu buna benzer birçok ölçme türü vardır.
Negatif ve pozitif doğal sayılar, birlikte bir küme oluştururlar. Bu kümedeki herhangi iki sayının toplamı veya çarpımı, yine bu kümede üçüncü bir sayıyı verir. Ayrıca, bir sayıdan diğerini çıkarırsak, sonuç sayı bu defa kümenin içinde yer alır.
Negatif ve pozitif doğal sayılara tamsayılar denir. Tamsayılar arasındaki ilişkiyi bir doğru üzerinde gösterebiliriz, önce doğru üzerinde, sıfırı gösteren bir nokta belirtelim. Sıfırdan itibaren sağa doğru birim uzunlukta bölmeler işaretleyip 1, 2, 3, … adı verelim. Aynı şekilde sola doğru işaretlenmiş çizgiler negatif sayıları gösterirler. Bu doğruya sayılar doğrusu denir.
Rasyonel sayılar: Sayılar doğrusu üzerinde tamsayılar arasında boş bölgeler bulunur. Bu bölgelere kesirli sayılar yerleşir. İki tamsayının bölümü olarak gösterilebilen sayılara kesirli sayılar denir. Kesirli bir sayıyı uygun bir tamsayı ile çarparak sonuçta yine bir tamsayı elde edilebilir. 9/13 sayısını 13 ile çarparsak 9 elde ederiz. Şu halde kesirli sayılar, tamsayıların diğer tamsayılara bölümüyle elde edilmiş yeni bir sayı kümesi oluştururlar.
Bu yeni tür sayılara rasyonel sayılar denir. Tam bir değer alması gerekmeyen niceliklerin ölçümünde (uzunluk, alan, sıcaklık derecesi vb.) rasyonel sayılar en uygun sayılardır.
Tamsayıların en büyüğü diye bir sayı yoktur. Bunun gibi kaç tane tamsayı olduğunu sormak da anlamsızdır. Çünkü, sonsuz tane tamsayı vardır. Rasyonel sayıların da miktarı sonsuzdur. Sadece
0 ile 1 arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. Daha da öteye giderek, birbirine istediği kadar yakın olsun, herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı olduğu söylenebilir. Bunun böyle olduğunu görmek kolaydır, örneğin, 13/15 ile 14/15 rasyonel sayıları arasında 135/150, 1 355/1 500, 13 555/15 000 sayıları da vardır.
Buradan görüldüğü gibi, en küçük rasyonel pozitif bir sayı yoktur. Sıfır ile ona çok yakın bir rasyonel sayı arasında, daima daha küçük bir rasyonel sayı yerleştirilebilir.
Rasyonel sayılar ondalık biçimde yazılabilir. 6/10 yerine 0,6 ve 5/100 yerine 0,05 yazılabilir. Öte yandan 3/5 ile 6/10 aynı rasyonel sayıyı gösterir ve 0,6 gibi tek bir şekilde yazılabilir. Ondalık virgülünün sağındaki rakamlar, sırasıyla ondalar, yüzdeler, bindeler, vb.’yi gösterir. 0,75 sayısı 7/10 artı 5/100 demektir.
Bazı rasyonel sayılar ondalık biçimde tam olarak yazılamazlar, örneğin, 1/9 yerine 0,111… yazıldığında sonsuza kadar 1’ler bitmez. 2/3 yerine de sonsuz uzunlukta 0,666… yazmak gerekir. Sayıları yazmakta, 10 üzerine kurulu sistemden başka sistemler de vardır.
İrrasyonel sayılar: Sayılar doğrusu üzerine tamsayılardan sonra, sonsuz sayıdaki rasyonel sayıları da eklersek, yine de tamamen dolmaz. Doğru üzerinde, rasyonel sayılara hiç benzemeyen, sonsuz sayıda nokta bulunmaktadır. Böyle sayılara irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar denir. Varlığı ilk keşfedilen irrasyonel sayı VTveya 2’nin karekökü olmuştur (karekök 2, kendisiyle çarpıldığında 2’yi veren sayıdır). Bu VTsayısı 1,4’den büyük, fakat 1.5’den küçüktür. Ondalık kesir halinde yazılmak istenirse, virgülden sonra sonsuz sayıda rakam yazmak gerekir. Onu sayılar doğrusu üzerine ancak belirli bir duyarlıkta yerleştirebiliriz. Örneğin VTdört haneli olarak 1,414 olarak yazılır. Matematikçiler, gerektiği yerde VI’ nin değerini istenilen duyarlıkta hesaplarlar. Geometrik şekillerin boyutları irrasyonel değerler alabilir. Örneğin, bir dik üçgende dik kenar uzunlukları 1 birim alınırsa, hipotenüsün uzunluğu V2 birim olur. Bundan yararlanarak, bu uzunluğun sayılar doğrusu üzerinde tam olarak gösterildiği varsayılır. Milâttan önce, geometride çok ileri olan Yunanlılar VTnin irrasyonel olduğunu anladılar. Bu buluş Pitagoras veya onun öğrencilerinden biri tarafından yapıldı.
Diğer önemli irrasyonel sayılar arasında VTve re (pi) sayısı vardır, ti sayısı, tüm çemberlerin çevrelerinin çaplarına bölümü olan sabit bir sayıdır. Yaklaşık değeri 3,1416’dır.
Sanal sayılar: Negatif sayıların kullanımı için okullarda öğretilen kurallardan biri iki negatif sayının birbiriyle çarpılınca pozitif bir sayı elde edildiğini belirtir, örneğin: (—2) x (—2) = 4 Buradan her pozitif sayının biri pozitif, diğeri negatif olmak üzere iki tane karekökü olduğu görülür. 4’ün karekökleri +2 ve —2’dir. Çünkü hem (_2) x (-2)=4, hem de (+ 2) X (+ 2) —4’dür.
Bu kuralın bir sonucu da şudur: Negatif sayıların karekökü yoktur (daha doğrusu, buraya kadar gördüğümüz sayı kümeleri içinde yoktur). Çünkü, bu sayılar içinde hiç biri, kendisi ile çarpıldığında negatif bir sayı vermez. Bununla beraber, matematikçiler negatif sayılar için de karekök olabilecek sayılar bulmuşlardır. Bunun için, önce V^“ı’e i adını verdiler. Böylece ixi = 1 oldu. Artık, karekök içindeki tüm negatif sayılar i cinsinden yazılabilir. Örneğin, 2 X i demek olan 2i’yi kendisiyle çarparsak 2i x2i = 4x i x i = 4x( —1)
— —A olur. Şu halde, —4 sayısının karekökü 2i’ dir.
Negatif sayıların karekök değerleri olan bu tür sayılara sanal (hayali) sayılar adı verilir. Bu ad, tıpkı negatif ve rasyonel sayılarda olduğu gibi, bu sayılar bulunduğu zaman matematikçilerin düştüğü sıkıntıyı belirtmek için konulmuştu. Oysa bugün, bir matematik öğrencisi bu sayılarla işlem yapmayı öğrendikten sonra, onları hiç de sanal bulmamaktadır. Sanal sayılar bilimsel çalışmalarda, örneğin dalga hareketi incelenmesinde büyük önem taşır.
Sanal sayılarla karşılaştırıldığında pozitif, negatif, rasyonel ve irrasyonel sayıların tümüne gerçek sayılar denir. Çünkü, sayılar doğrusu üzerinde her nokta gerçek bir sayıya karşılık gelir ve başkasına yer yoktur. O halde, sanal sayıları nereye yerleştireceğiz?
Gerçek sayılar doğrusuna sıfır noktasından bir dikme çıkalım. Bu düşey doğru üzerinde de birim aralıkta noktalar işaretleyelim. Gerçek sayılar doğrusunun yukarısında kalan noktaları sırayla i, 2i, 3i, … diye adlandıralım. Aşağıdaki noktalar da —i, —2i, —3i, … olacaktır (sanal sayılar da, gerçek sayılar gibi pozitif ve negatif değerler alabilirler). Bu düşey doğruya sanal sayılar doğrusu denir.

Kâğıdımız üzerinde olup, hem sanal, hem de gerçek sayı doğrularının dışında kalan noktalar için ne diyebiliriz? Bu noktalara bir anlam verilebilir mi?
Bu iki doğruyu, iki değişkenli bir grafiğin eksenleri olarak görebiliriz, örneğin, sanal sayılar doğrusunun 3 birim sağında, gerçek sayılar doğrusunun 2 birim yukarısında olan bir noktanın koordinatları, grafik çizimi kurallarına göre (3, 2) olacaktır.
Bu nokta 3 ile 2i’nin toplamını, yani 3 + 2i’yi temsil edebilir. Benzer şekilde, sıfır noktasının solunda ve altında olan (—4, —5) koordinatlı nokta —4 ile —5i’nin toplamını, yani —4—5i’yi temsil eder.
Bu yeni çerçevede, gerçek ve sanal sayılar için yaptığımız tanımların uygun düştüğü görülebilir. Örneğin 6 sayısı, 6 ile Oxi’nin toplamı olarak düşünülür ve (6, 0) noktasına karşılık gelir (0,5).
Bir gerçek sayı ile bir sanal sayının toplamından oluşan böyle sayılara karmaşık sayılar denir. Gerçek ve sanal sayılar, karmaşık sayıların özel halleri olurlar. Grafiğini çizdiğimiz düzleme de karmaşık sayılar düzlemi denir.
Karmaşık sayıların toplama kuralını bulmak için aritmetik ve grafik bilgisinden yararlanılır. Toplamanın temel kurallarından biri de, sayıların sırasını değiştirmekle sonucun değişmeyişidir. Buna göre, (3 + 2İ) ile (—4 —5i) toplanırken 3 + 2i—4
— 5i = (3—4) + (2i —5i) = —1 —3i olur.
Karmaşık sayılar temel dört işleme göre kapalı bir küme oluştururlar. İki karmaşık sayı toplanır, çıkarılır, çarpılır veya bölünebilir. Sonuç daima karmaşık sayılar düzlemi içinde bir nokta, yani yine bir karmaşık sayı olacaktır.

Yorum yazın