Matematik tarihi – Matematiğin Tarihi

MATEMATİK i. (fr. mathématique). Tüm-dengelimli akılyürütme yoluyle, sayılar, geometrik şekiller v.b. gibi soyut varlıkların özelliklerini ve bunlar arasındaki bağıntıları inceleyen bilim dalı: Modern matematiğin gelişimi bütün tahminleri aşmaktadır.

— Fels. Evrensel matematik, Descartes’a göre, genel düzen ve ölçü bilimi.

— ansİkl. Matematik biliminin, M. ö. 600 yıllarına doğru Yunanistan’da doğduğu söylenir; ancak bu iddia tamamıyle doğru değildir. En son araştırmalar, matematik kültürünün yeşerdiği merkezlerin, bu tarihten çok daha önce birbirinden ayrı bölgelerde var olduğunu ortaya koymuştur. En eski kültür merkezlerinin, Ortadoğu’dakiler olduğu sanılır; Yunanlılar, bu kültür merkezlerinin matematik bilgisinden kendi geleneklerine göre, hiç olmazsa kısmen, yararlandılar. Diğer küçük merkezler ise, matematiğin ilerlemesine katkıda bulunamadan birer birer söndüler.

• Kolomböncesi matematik, inka medeniyetinin matematik bilgilerini de kapsaması gerekir; elde hiç yazılı metin bulunmadığı için bu bilgiler yenilenememiştir.

Eski yazı bilginleri tarafından okunabilen bir yazı kültürüne (elyazmalan ve anıtlar üzerindeki piktografi ve hiyeroglif yazılar) sahip Mayalar ve onların kültürünü sürdüren Aztekler üstüne daha çok bilgi edinilmiştir; bu halkların özellikle zaman hesabı, takvim problemi ve astronomi olaylarını önceden bilme konusunda uğraştığı sanılır. Takvimlerinin başlangıcı M. ö. 3113 yılının 12 ağustosuydu. Bazı yazıtlarda, gerçek güneş yılı ile 36S günlük âdi yıl arasındaki farkın şaşılacak bir kesinlikle hesaplandığı görülür. Bu bilim, 20 tabanlı bir sayılama sistemi üzerine kurulmuş bir aritmetik âletinin hassas çalışmasıyle daha da güçlenmiştir. Demek ki bütün bilgiler, Mayalar’da, eski ve köklü bir medeniyet çerçevesi içinde ilgi çekici bir matematik çalışmasının var olduğunu ortaya koyar; ancak bu bilgilerin neden böyle birden sönüp gittiği bilinmez.

• Çin matematiği. Tamamıyle Çinlilere ait bir matematik kültüründen en küçük bir iz bile kalmamıştır. Bu matematik kültürü ancak yakın zamanda, eski yazıtlar, elyazmalan ve basılı kitapların yardımıyle gün ışığına çıkmıştır. Çinlilerin ilk matematik bilgileri çok eski tarihlere kadar uzanır. M.ö. XIII. yy.dan beri Çinlilerin, bugün kullandığımız sisteme oldukça benzeyen bir ondalık sayılama sistemi vardı. Çok erken kurulmuş olan çin matematiğinin, hareketli bir tarih evrimi boyunca düzenli olarak gelişmiş olması gerekir. Yunan, arap ve batı matematikleri ile çin matematiği arasında da bir paralellik dikkati çeker. M.ö. III. yy.da Çinliler Pythagoras teoreminin ispatını yapmışlar, n-’nin yaklaşık değerini hesaplamışlar ve kareli aritmetik tablosu üzerinde 1. dereceden denklemleri çözmüşlerdir. Bununla birlikte, sıfır sayısı, ancak M. S. VIII. yy.da kullanılmağa başlanmıştır. XII. ve XIII. yy.da çin cebiri çok büyük bir gelişme gösterdi. Fakat Mançurya’nın fethinden sonra araştırma ruhu kayboldu ve matematik çalışmalan birkaç basit uygulamadan öteye gidemedi.

Çin matematiğinin gelişimi kendiliğinden mi durakladı? Bu soru çevapsız kalıyor. Bununla birlikte, XV. yy.dan beri Batı’daki olağanüstü matematik gelişmeleri üzerinde Çin’in bir etkisi olduğunu gösteren hiç bir kaynak yoktur.

• Yunan öncesi matematik. Biri Mısır, öbürü Sümer – Babil kültürü olmak üzere çok eski iki matematik kültür merkezi yunan matematiğini etkilemiştir. Mısırlıların matematik kültürü üstüne bütün bilgiler, az sayıdaki papirusların okunmasıyle sağlanabilmiştir. En eski papirüs «büyük Moskova papirusu»dur. Bu kaynakta, kürenin hacmini hesaplama kuralı gibi, M. ö. 2000 yıllarına kadar uzanan yoğun b\r matematik çalışmasını ispatlayan bazı kuralların bulunması şaşırtıcıdır. Buna karşılık, daha sonraki papiruslarda sadece birkaç pratik hesap ve ölçü yönteminin bulunması, matematiğin ilerleyecek yerde gerilediğini gösterir. Yunanlıların Mısır ile ilişki kurduğu devrede, mısır matematiğinin uzun zamandır böyle bir gerileme devresine girmiş olması gerekir.
Sümer-Babil kültür merkezi üstüne bilinenler, yakın zamanda yapılan kazılarla büyük bir kısmı gün ışığına çıkarılan toprak tabletler üzerindeki çivi yazısının okunmasına dayanır. Bu yazıtlardan bazıları, yine M. ö. 2000 yılından daha öncelere kadar uzanan bir çağda, geometri ve astronomi problemlerine yönelmiş ilgi çekici bir matematik biliminin varlığını ispatlar. Meselâ, Babil-liler ikinci dereceden ve bazı üçüncü dereceden denklemlerin çözümüyle ilgili hesap yöntemlerini geliştirmişlerdir. Yunanlılar Babillilerle ilişki kurduğu zaman, bu matematik kültürü de gerileme devresinde miydi? Bazı bilginler bu düşüncededir. O sıralar babil matematikçileri, 10 tabanlı bir sayılama sistemiyle birlikte kullanılan 60 tabanlı bir sistemden yararlanarak, Güneş ve Ay tutulmalarının olacağı tarihleri hesaplayabiliyorlardı.

Yunan matematiğini etkileyen sümer • babil kültür merkezine Fenikelileri de katmak gerekir; çünkü Yunanlıların sayılama sistemi Fenikelilerden gelir.

• Yunan matematiği. Efsaneye göre, yunan matematikçilerinin çoğu uzun süre Mısır ve Mezopotamya’da oturmuşlardır. Yine de bu bilginler yunan matematiğini, kökünden değişmiş rasyonel bir bilim, yani ta-mamıyle tümden gelimli akıl yürütme yoluyle açık gerçekler üzerine oturtulmuş bir bilim halinde kurmayı başardılar, lonia okulu, M.ö. 600 yılına doğru Mile-tos’lu Thales ile (bazı temel geometri teoremleri onun adını taşır), bu yolu açtı. Pythagoras tarafından VI. yy.ın ortalarına doğru kurulan Pythagoras veya İtalya okulu bir müritler topluluğuydu. Bu okulun, Taranto körfezindeki Crotone merkez enstitüsü, siyasî-dinî sebeplerle V. yy. başlarında kapatıldı. Yine de bu tarikat, önce Yunanistan’da, sonra İskenderiye’de daha uzun süre yaşadı. Pythagoras’çılar, 150 yıl içinde dört matematik kolundan (aritmetik, müzik veya müzik aralıkları aritmetiği, düzlem geometri, astronomi veya küresel geometri) ilk grubu düzenlediler. Okul, lama-mıyle sayı kavramı üstüne kurulmuş bir matematik öğretisinin tohumlarını atıyordu. Bazı Pythagoras’çılara göre, her şeyin ayrı bir sayısı vardı ve bu sayıyı bilmeden o şey ne tanınabilir, ne de anlaşılabilirdi. Bu doktrine göre, her çeşit büyüklük arasındaki oranlar tamsayıların oranından başka bir şey olamazdı. Elea okulu bu görüşlere karşı çıktı ve tenkitleri sonradan Parmenides ve Zenon paradoksları olarak ün yaptı. Karenin köşegeni ile kenarı arasındaki oran gibi ortakölçülemez oranların bulunması, Pythagoras okuluna kesin bir darbe indirdi.

IV. yy., felsefe ve bilim açısından bir dönüm noktasıdır. Ortakölçülemez sayıların varlığından doğan güçlükler, Eudoksos’un, bir kesinlik örneği olarak günümüze kadar gelen ünlü orantılar teorisiyle yenildi. Böylece Pythagoras’çıların öğretisi ve garip sayı inanışları aşıldı ve yerini eflatun’cu matematik görüşü ile fikir öğretisine bııraktı. III. yy. başında İskenderiye’de yazılan Eukleides’in Elemanlar’ı, bir önceki yüzyılda kaydedilen gelişmeleri tamamlayan bir eser oldu. M. ö. 331 yılında kuruları İskenderiye, kısa sürede yunan kültürünün merkezi haline geldi. Eukleides’ten Diop-hantos, Pappos ve Proklos’a kadar, yunan matematik bilimlerinde isim ve yer yapmış bilginlerin hemen hepsi İskenderiye’de barınabildi. Elemanlar’m matematik alanında önemi çok büyük oldu. Bu eser, aksiyoma-tik metot yardımıyle gerçek bilginin tüzüğünü kurarak bu ideali uzun süre yaşattı. Eukleides metodu her şeyden önce, büyüklüklerin, aşağıdakine benzer aksiyomlar üzerine kurulmuş genel bir teorisini kapsar: «Aynı büyüklüğe eşit iki büyüklük birbirine eşittir.» Geometrinin kuruluşuna ayrıca birçok postulatın da katkısı oldu; bunlardan en ünlüsü «paraleller postulatı» veya «Eukleides postulatı»’dır. Aksiyomlar ve postulatların en büyük özelliği, ilk bakışta kabul edilecek kadar açık olmalarıdır. Aralarındaki fark, aksiyomların genel, postulatların geometrik gerçekler olmasıdır. Elemanlar, geometri gibi bir bilimin, tamamen tümden gelimli yolla, yani hepsi birbirinden türeyen tanımlar ve ispatlar bütünü halinde, aksiyomlar ve postulatlar temeli ü-zerine kurulabileceğini ispatladı. Kuruluş yöntemi belirlenmişti ama, çoğu geometrinin temel taşları olan daha birçok noktanın keşfedilmesi gerekiyordu.
Yunanlıların geometri araştırmaları, Apol-lonios ve Arkhimedes sayesinde en büyük başarıyı yine III. yy.da gösterdi. Apollo-nios, konikler üzerine büyük bir inceleme kitabı yazdı ve tahminen episikloitleri inceledi. İskenderiye döneminin birinci yüzyılını parlak ve başarılı bir devir haline getiren Apollonios ile Eukleides oldu.

Fakat, Eskiçağın en büyük matematik dehası, hiç şüphesiz Syrakusai’li Arkhimedes’-tir. Ardışık yaklaştırmalarla ır’nin hesaplanması, küre ve silindirin hacim hesapları, parabol parçasının kareleştirilmesi, statik momentlerin ve ağırlık merkezlerinin kullanılması v.b. gibi çalışmalarıyle, mekanik ve integral hesaba giden yolları açtı. Bir bilgi metodu olması bakımından, Arkhimedes metodu Eflatun’cu doktrin ile uyuşamı-yordu. Arkhimedes’in metodu, doğru uygulama tasası ile tam bir kesinliğin araştırılmasını bağdaştırıyordu Bu iki yönlü özellik, bir yandan, hâlâ günümüzde «Arkhima-des ilkesi» diye bilinen hidrostatik ilkesinde, öte yandan da, Eudoksos’a ait tüketme ilkesinin alanlar ve hacimler hesabında tam bir titizlik ve kesinlikle uygulanmasında görülür. Oysa, eflatun’cu ülkü, akıl gerçeklerinin temaşasma dayanır ve teknik uygulamalardan kaçınırdı. Bu bakımdan Arkhimedes biliminin modern bilime özgü bilgi tipine yöneldiği söylenir. Aynı özelliği, Arkhimedes’in yakından tanıdığı İskenderiye biliminde de buluruz: M.ö. II. yy.da, astronom Hipparkhos’un düzlemsel ve küresel trigonometrisi ve M.S. I. yy.da fizikçi Heron’un geometri araştırmaları. İskenderiye’n bilginlerin yolunda daha birçok kimsenin de yürüdüğünü belirtmek i-çin, M.S. I. yy.da Nikomakhos ve Mene-laos’u, Ptolemaios ve ünlü dünya sistemini, daha sonraki yüzyılda, yani III. yy.da Di-ophantos’un aritmetik araştırmalarını ve Pappos’un anarmonik bağıntıları üzerindeki incelemelerini ve nihayet V. yy.da Prok-los’un Eukleides’in birinci kitabı üstündeki Yorumlar1 ını sayabiliriz. Bu devirden son-ıa gerilemeğe başlayan yunan bilimi yavaş yavaş tam bir fikir keşmekeşine düştü. Arkhimedes ve iskenderiye’li matematikçilerin Eflatun doktrininden uzaklaştıklarını daha evvel söylemiştik. Stoacı’larla felsefe de kendi yoluna girmişti. III. yy.ın ortalarına doğru, yeni Eflatun’cu İskenderiye felsefe okulunun kurulmasıyle bu iki dal arasında sunî bir yaklaşma meydana gelmiştir. Paganların bilimsel katkılarına karşı cephe almasıyle tanınan, Hıristiyanlığın görüşlerini benimsemek istemeyen bu okul birçok bilgini, bu arada da en ünlüsü Proklos o-lan birçok matematikçiyi kendi kadrosuna almıştı. Fakat, okulun felsefî seviyesi yavaş yavaş düşmeğe başlayınca, bilginler ciddî araştırmaları bırakıp ilminücûma, tasavvufa, hattâ kabala’ya kaymağa başladılar. Bu bakımdan, çevrelerinde bir çeşit korku ve tiksinti uyandıran matematikçiler sık sık da zulme uğrar oldular. 529’da imparator iustinianos, o sıralarda Atina’ya nakledilen okulun kapatılmasını emretti; fakat, İskenderiye mirasının hiç değilse bir kısmından Bizans yararlanabildi.

Batı imparatorluğunda yunan kültürünün izleri yavaş yavaş kayboluyordu. Romalıların matematik merakı ise, yer ölçümünden öteye gitmiyordu. Hiç bir gerçek etkisi olmayan bölük börçük birkaç deneme dışında, eski yunanlı matematikçilerin orijinal eserleri latinceye çevrilmemişti. VI. yy.ın başında, gerçek bilimden ortada hiç bir iz yoktu. Denildiğine göre, o devirde, eski çağın son yıllarında yetişmiş derleyicilerin en çalışkanlarından biri olan Kassiödorus’un başkanlığında, ilk defa olarak Vivarium (Bruttium) manastırının keşişleri eski elyazmalarını istinsah ederek Rönesans’a götürecek olan yollardan birini hazırlamağa başladılar.

Eski Yunanlıların (ve bu arada da Hintlilerin) bilimsel mirasına konanlar, hıristiyan-lar değil arap dünyası oldu.

• Hint matematiği. Her ne kadar, bazı söylentilere dayanarak Veda (M.ö. 1500 ile 1000 arası) ve Brahma (M.ö. V. yy.) devirlerinde Hindistan’da matematiğin belli bir seviyeye ulaştığını söyleyebilirsek de hint matematiği olgunluk çağına ancak klasik devirde (M.S. I. yy. ile VIII. yy. arası) ulaşmıştır. Zaten bu devirden hemen önce Yunan dünyasıyle ilişkiler başlamıştı. İskender’in ilerlemesi IV. yy.da Indus ırmağı üzerinde durdu, öte yandan, Buddha’cılığın Çin’de yayılması ve arap dünyasının gittikçe gelişmesi dış ile ilişki noktalarını çoğaltmıştı. Fakat şunu da belirtelim ki hint matematiği tümden gelim metodundan çok sayı hesabına dayanan, kendine özgü bir çığırda gelişti. Dokuz rakam ile sıfırın kullanılmasına dayanan ondalık sayılama sistemini medeniyetimiz onlara borçludur. Eski Yunanlılar bu sistemi bilmezlerdi. Çok daha sonraları, Araplar aracılığıyle Batı’ya ulaştırıldı. Bu sistemin uygulama ve teori alanlarında sağladığı sayısız kolaylıklar, matematiğin daha sonraki gelişmesini temelden etkilemiştir.

Bu sayılama sistemine, ilk olarak M.S. VI. yy.da yazılan ve Suryasiddhanta diye bilinen küçük bir inceleme kitabında -astlı-yoruz. Fakat Hintlilerin matematik üstündeki çalışmaları genellikle astronomi eserlerinde yer alır. Meselâ, 476’da doğan Ar-yabatha ve 598 doğumlu Brahmagupta birer astronomdu; çok daha sonralaları 1150’-ye doğru Bhaskara kare köklerin nasıl hesaplanacağını gösteren bir aritmetik kitabı yazdı; bu, aslında birinci ve ikinci dereceden denklemlerin teorisidir; fakat, Yunanlılarda olduğu gibi geometrik bir biçimde ortaya konmuştur.

Hint matematiğinin işlemsel özelliği bir genel sayı anlayışından ayrılamaz; bu anlayış orandışı meselesine yabancı kalmakla beraber kendiliğinden negatif sayılara götüren bir yoldu ve bu sayede de bir kare kökün iki işaretini, ikinci dereceden bir denklemin iki çözümünü göz önünde bulundurmağa imkân veriyordu; bu şekilde ortaya çıkan formel (biçimsel) cebir daha sonra Araplar tarafından işlenmeğe başladı.

• Arap matematiği. Araplar, akıl almaz bir hızla Akdeniz’in ve eski İran’ın güney kıyılarından Pirene’lere kadar uzanan toprakları islâmlaştırmışlardı. Daha 642’de İskenderiye’yi işgal ettiler. Bu durumda, yunan kültüründen hiç bir iz kalmaması akla gelebilirdi. Oysa tam tersine, Yunanlıların bilimsel mirası hem zenginleşti, hem de değerlendirildi.

Yeni Eflatun’cu okul kapanınca, üyelerinden birçoğu eski İran’a göçmüştü. Bizans Ortodoksluğunun afaroz ettiği Nasturîler de aynı yola koyulmuş, ta Çin’e, Hind’e kadar uzanmışlardı. 762’de II. halife El-Man-sur Bağdat’a yerleşti. İskenderiye biliminden arta kalanları toparladı ve Bağdat’ı büyük bir bilim merkezi haline getirdi. 832’-de halife El-Memun, arap matematiğinin en ünlü ilk merkezlerinden biri olan ve bir çeşit bilim akademisi diyebileceğimiz Beyt-ül-Hikme’yi de Bağdat’ta kurdu. Burada eski Yunanlıların tüm bilimsel eserleri Arap-çaya çevrildi, incelendi ve hattâ hatmedildi. Kendi yaratıcı güçlerini İskenderiye okulunun çizdiği yolda geliştiren Araplar haklı olarak kendilerini Yunanlıların vârisleri sayıyorlardı. Fakat çok geçmeden hint astronomlarının eserlerini de Arapçaya çevirdikleri gibi, hint hesabının değerini ve uygulamada sağladığı kolaylıkları kavramakta gecikmediler. wBağdat’daki bu bilim merkezinin faaliyeti, Moğol hâkimiyeti sırasında da devam etti ve ta Semerkant’a kadar etkisini duyurdu. Fakat arap bilim ve matematiğinin bütün batı dünyasında, özellikle de İtalya’ya yayılması ve matematik biliminin bugünkü büyük hamlesine yol açması ispanya, Sevilla, Gırnata ve Kurtuba aracılığıyle oldu. Eski Yunanlıların da, Hintlilerin de bilimpel katkılarında ayrı ayrı özellikler vardı. Araplar için de aynı şeyi söyleyebilir miyiz? Arapların en büyük özelliği bu etkilerin her ikisine de a£ik olmaları ve yeni bir hamleyi mümkün kılacak sentezi başarmalarıdır. Bağdat okulunun seçkin astronom ve matematikçileri arasında en önemlilerini şöyle sıralayabiliriz: halife El-Memun tarafından bir derecelik meridyen yayını ölçmekle görevlendirilen ve haklı olarak cebirin kurucusu sayılan El-Harizmi (847’ye doğr.); Eukleides ve Diophantes’in yorumcusu ve trigonometrinin öncülerinden Ebül Vefa (X. yy. sonu); Eukleides’in önermeleri üstündeki tartışmaları XVIII. yy.da P. Saccheri tarafından değerlendirilecek olan Nasreddin-el-Tusî (1201-1274). Bu arada Ispanya’da yetişen El-Kırmanî ve ibn-ül-Şaffar’ı (XI. yy. başı) ve Kurtuba’li astronom El-Zarhali’yi de (XI. yy. sonu) sayabiliriz.
Fakat Moğol istilâsı (Hulâgu Han 1258’de Bağdat’ı işgal etmişti), Magrıplıların Ispanya’ya sürülmesi ve nihayet türk hâkimiyeti arap bilimi üstünde olumsuz bir etki yaptı ve XIV. yy.dan itibaren orijinal çalışmalar kalmadı.

• Bizans matematiği. İustinianos’un Atina okuluna karşı aldığı tedbirlere ve dinî Ortodoksluğun bütün ağırlığına rağmen Doğu Roma imparatorluğunda XVI. yy.a kadar bir bilim ve matematik geleneği sürdü, ilk Bizans üniversitesi 330 yılında Konstan-tinos tarafından kuruldu. Daha sonraları kilise her türlü bilimsel çalışmaya karşı çıktı; fakat, Paleologos’lar zamanında, IV. Haçlı seferinin (1204-1261) kurduğu Latin imparatorluğunun çökmesinden sonra, Arapların etkisiyle matematik ve astronomi yeniden doğdu. Ne var ki, bu akıma katı-lanlar birer gerçek bilgin olmaktan çok Gregoras (XIV. yy.) gibi derleyici*terdi. BizanslIların en büyük başarısı yunan ve doğu eserlerini korumuş olmaları ve 1453’-ten sonra, yani İstanbul Türkler tarafından fethedildikten sonra bu eserleri İtalya’ya götürmeleridir.

• Matematiğin gelişmesi. Batı hıristiyan dünyasında matematik çalışmaları ancak Gerbert d’Aurillac (960-1003) [Silvester II adiyle papa olmuştur] zamanında başlayabildi. Fakat Gerbert’in ve çömezlerinin eserleri, ancak matematik bilgisinin hangi seviyede kaldığı hakkında bizi aydınlatmaları bakımından önemlidir. Bu çalışmaların aritmetikle ilgili bölümü (bütün maksat çörkü-ler üstünde yapılan işlemleri doğrudan doğruya yazılı rakamlarla yapmaktı), Gerbert’in İspanyol Araplarından öğrendiği arap matematiğinin etkisini taşır.

Bu çalışmaların geometriyle ilgili bölümü ise, seviye bakımından, Eukleides’in Ele-manlar*ından çok uzaktır. Geometrik özellikler hâlâ birbirinden ayrı, aralarında bir mantık bağı bulunmayan ve deneylemeyle doğrulanan gerçeklerdir. Demek ki geometriyi tümden gelimli bir sistem olarak gören yunan geometrisinin ana fikri henüz ortaya çıkarılmış ve değerlendirilmiş değildir. Arap bilimlerinin, özellikle de arap matematiğinin Batı’ya sızması ve bunun üzerine de Batı’da yunan kültürüne karşı büyük bir ilginin uyanması arasındaki çelişmeyi veya tutarsızlığı nasıl açıklayabiliriz? Buna ille de bir izah bulmak gerekirse, pek tabiîdir ki ticaret ilişkileri, Roma ile Bizans, Haçlı seferleriyle Latin imparatoru arasındaki bağıntılar, İstanbul’un Türkler tarafından fethi üzerine değerli malları ile elyazmalarını yanlarına alan yüksek görevlilerin Batı’ya sığınması, Magrıplıların boşalttıkları bölgelerde kalan Yahudi bilginlerin etkisi v.b. ileri sürülebilir. Fakat olayı gereğince anlayabilmek için bu dış şartlar da yeterli değildir. Eninde sonunda birtakım kişisel teşebbüsleri hesaba katmak zorundayız. Buna örnek olarak Pisa*-lı Leonardo’nun bilgisini artırmak için Akdeniz’i dolaşmasını gösterebiliriz. Liber ab-baci (1202) ve Practica Geometriae (Pratik Geometri) [1220] gibi kitapları, bilgisi ve ele aldığı konulara ne kadar hâkim olduğunun delilidir. Guillaume de Moerbeke’in Arkhi-medes’in eserini Latinceye çevirmesi de bu döneme rastlar (1269). Arap biliminin iyice zihinlere yerleşmesi ve yayılması (bunda yüksek ruhban sınıfının büyük payı olmuştur) yüzyıllar boyunca sürdü. Yeni yeni kurulmağa başlayan cebir ve analiz alanlarında da kavramların ve işaretlemelerin kesin bir şekle varması da çtok uzun zaman aldı ve birçok bocalamaya yol açtı. Meselâ, Paris okulunun ortaya attığı birçok yeni görüş (özellikle sonsuz ile ilgili olanlar), önceleri herhangi bir kullanım alanı bulunamadan kaldı ve ancak çok daha sonraları verimli bir şekilde değerlendirildi.
Luca Pacioli’nin, gerçekten «yayıcı» diyebileceğimiz ve bir yüzyıl sonraki büyük cebircilerin başucu kitabı haline gelen eseri ancak 1494’te basılabildi (Venedik).

Çoğu Bologna okulundan olan Scipione dal Ferro, Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano, Ludovico Ferrari ve Raffaele Bombelli gibi İtalyan cebircileri ile matematik bilimi gerçekten yepyeni bir gelişme düzeyine girdi. Kavramlarda açıklık, işlemlere hâkimiyet gibi konularda öyle bir olgunluk derecesine varılmıştı ki bir cebirsel denklemin çözümü meselesi artık olanca genelliğiyle ortaya konabilirdi. Şimdi, herkesin de bildiği gibi, tam bir şekilde ortaya konulabilen büyük bir problem, o problemi çözmek, aydınlatmak ve doğurabileceği sonuçları çıkarmak için gerekli yolların bulunmasına elverişli ipuçlarını da bize verebilir. Sözünü ettiğimiz cebirciler üçüncü ve dördüncü dereceden denklemleri başarıyle çözdüler; bu denklemlerin katsayılarından hareket ederek köklerini belirlemek için bildiğimiz aritmetik işlemlerin yanı sıra sadece kök almağa dayanan formüllere başvurdular. Bu başarı ortaya yeni yeni meseleler çıkardı, bunlardan ikisi, araştırmalarda büyük bir gelişme^ sağlamaları bakımından burada anılmağa değer:

1. beşinci dereceden denklem (ve onunla beraber daha yüksek dereceden denklemler) aynı yollardan çözülebilir mi?

2. Cartan’ın formülündeki indirgenemez şık-ka (üçüncü dereceden denklemler için) göre kullanmak zorunda olduğumuz negatif sayıların (sanal nicelikler) kare köklerine nasıl yer verebiliriz?

Bu iki soru matematik araştırmalarının günümüze kadar gelişmesi, yayılması ve dallanması hakkında bilgi veren iki örnektir. Bu sorulardan ilki daha sonraları hemen hemen bütün büyük cebirci ve analizciyi, özellikle de Euler (1707-1783) ve Lagrange’ı (1736-1813) uğraştırdı. Yeni yeni birçok buluşa yol açmakla beraber bütün çözüm denemeleri başarısızlıkla sonuçlandı; nihayet Abel (1802-1829), beşinci dereceden denklemi köklerle çözmenin imkânsızlığını ispat etti. Galois’nın teorisiyle aydınlanan ve kapsamı genişleyen bu sonuç bir cebirsel sayılar teorisine yol açtı, ikinci soru ise, ister istemez sanal sayıların (veya karmaşık sayılar) cebirde, sonra da analizde yer almasını gerektirdi. Temel cebir teoreminin («n. dereceden bir cebir denkleminin kesinlikle n kökü vardır») geçerliliğini sağlayabilecek tek unsur bu kapsam genişlemesidir. Bu teorem ilk olarak Gauss tarafından, ifade edilmemekle beraber ispatlandı.

O sıralarda henüz ortaya çıkmayan ve muazzam bir şekilde gelişeceği tahmin edilemeyen analiz, gerçek sayılar sistemine karmaşık sayıları katmanın büyük bir ö-nem taşıdığını gösterdi.

İtalyan cebircilerinin gösterdiği yolda en büyük başarıya ulaşanlar Vifcte (1540-1603), Descartes (1596-1650) ve Fermat (1601-1665) gibi fransız matematikçileri oldu. Günümüze kadar gelen ve bugün de hâlâ kullandığımız cebir, son gelişmeler hesaba katılmazsa onların eseridir.

Descartes ve Fermat çok basit bir fikirden, koordinatlar sisteminden hareket ettiler. Bu fikir cebire, sonsuz ufuklar açtı. Bu görüş çerçevesinde, analitik geometriye dönüşen geometri, cebirin basit bir uygulama alanı oluyordu. Aksiyomlardan hareket edilerek yapılan kesin tümdengelim yerini hesaba bıraktı. Bu sayede, kısa bir süre sonra aralarına analizin de katılacağı

matematik disiplinleri bir çeşit birliğe kavuşuyordu. Bu durumda, basit koordinatlar fikrinin «yeni matematik» (analize özgü fikirleri hesaba katmadan ve özellikle cebir ve geometri ile ilgili alanlarda) hangi sınırlara kadar geliştirebileceğini kestirmek mümkündü.

Düzlem analitik geometriden uzay analitik geometriye geçiş Parent (1666-1713) sayesinde oldu. Bu genelleştirme, ister istemez n boyutlu bir uzay fikrini doğuracak, aynı zamanda da böyle bir uzayda bir geometri kurmanın yollarını gösterecekti. Bunun başarılmasında, hayli geç olmasına rağmen, Schlâfli’nin (1814-1895) eserine borçluyuz. n boyutlu bu uzaylar, kendiliklerinden, daha sonraki matematik araştırmalarında büyük faydası görülen birer araç oldu.

ve intégral almağa bağlı temel kurallar kısa bir süre içindie belirlendi ve birçok probleme uygulandı. Bu uygulamanın bir faydası da elemanter fonksiyonlar üstüne bilgilerin kesinleşmesine ve daha geniş bir kapsam kazanmasına imkân verdi. Taylor (1685-1731) ve Maclaurin’in (1698-1746) formülleri bu fonksiyonların seri halinde açılmasını sağladı. Bu konuda ilk sistemli çalışma, Bernouilli’nin (1667-1748) yardımından da yararlanan L’Hospital markisi (1661-1704) tarafından yapıldı. Bundan böyle yapılan çeşitli ayarlamalar ve düzeltmeler yeni hesabın tutulmasını engelleyemedeği gibi uygulama alanında gitgide genişlemesini de durduramadı.

Yeni hesabın o devirlerde, cebirci Rolle (1652-1719) gibi inatçı muhalifleri olması (oysa ilk analiz teoremlerinden biri onun adını taşır) gerçekten şaşırtıcıdır. Buna bir sebep bulmak gerekirse denilebilir ki o sıralarda yeni hesap henüz sağlam temellere oturtulmuş değildi. Bu temel ancak XIX. yy.ın ilk yarısında atılabildi. Fakat «yeni hesap», temeli atılmış olsun veya olmasın kendi yolunda ilerliyor ve özellikle uygulama alanında başarıdan başarıya koşuyordu.

• Analizin kuruluşu. Sonsuzküçükler hesabının ilk hazırlık ve gelişme dönemi Büyük Katerina’nın Petersburg’a çağırdığı Basel’li dâhi matematikçi Euler’in muazzam eserinde doruğuna ulaşır. Klasik analizin benimseyeceği büyük yolların çoğu bu eserde gösterilmiş ve açılmıştır. Fakat buna rağmen, analizin ağlam ve tutarlı bir temele oturmuş bir organon gibi geliştiği gene de söylenemez. Kendi temelini kendi kurmadan önce analiz bir süre için mekanik ve fizikle kader birliği yapacaktır. Burada cebirle geometrinin birbirlerini desteklemeleri hakkında söylediklerimizi tekrarlayabiliriz: kendi fonksiyonunu yerine- getirebilmek için, analiz, olağanüstü genişlikte bir araştırma alanını kendi başına açmak zorundaydı.

Mekaniğin kurulması çok yavaş oldu. Statik denge kanunlarını aşan ilk bilgin New-ton’dur. Bir kütleye uygulanan kuvvetin, bu kütle ile ivmesinin çarpımına veya hareket niceliğinin süresine göre türevine eşit olduğunu ileri sürmekle dinamiği de kuT-muş oluyordu. Newton’un ikinci büyük keşfi olan yerçekim kanunu da bu dinamik konunun çerçevesinde yer alır. Bu durumda, gök mekaniğinin büyük problemleri de hesapla, daha doğrusu temel kanunların ifadesinde türevler de yer aldığına göre, yeni hesapla çözülebilecek demekti. Dolay isiyle de çözümlenecek denklemler artık cebir denklemleri değil diferansiyel denklemler, yani en basit şekliyle belirlenecek bir fonksiyon ile bu fonksiyonun ilk iki türevi arasındaki bağıntılardı. Şunu da belirtelim ki, bu durumda bilinmeyen bir sayı değil bir fonksiyondur.

Newton sistemi gerçek bir gök mekaniğinin kurulmasıyle doğrulanacaktı, bu gök mekaniğinin gerçek sayılabilmesi için de, Güneş’in, Ay’ın, gezegenler ve kuyrukluyıldızların görünür hareketleri üstünde yapılan gözlemleri tam bir kesinlikle doğrulayabilmesi lâzımdı. Bu mekaniğin kurulması uzun çabalar gerektiren ve bütün büyük analizcilerin dikkatini çeken bir iş oldu. Gerekli analiz araçlarının bulunması, diferansiyel denklemler üstünde, bazı denklemlerin çözümü (özellikle kısmî türevli denklemler) üstünde geniş araştırmalara yol açtı Zaten, titreşimli kiriş veya ısının yayılması gibi bazı büyük fizik problemlerinin ele alınabümesi için gerekli şartlar da bu çerçeve içinde incelenmelidir. işin şaşılacak tarafı, analizin temelleri meseleyi tatmin edici bir şekilde açıklanmadan önce de bu araştırmaların büyük bir başarıyle sürüp gitmesidir. Fakat, şunu hemen belirtelim ki, analiz bazı eşikleri (msl. «var olma teoremleri» denilen teoreme gö-‘türen eşiği) ancak bu açıklama sayesinde aşabilirdi. Bu da, Cauchy ve Weierstrass’in eserleriyle gerçekleşti. Bu iki bilgin, limit ve yakınsama gibi iki komşu fikrin, herhangi bir istisnaya yer vermeden tam bir kesinlikle uygulanmasını sağladılar. Bütün

Bir düzlemde f, x ve y’li n. dereceden bir çokterimliyi gösterdiği halde, f(x,y) = 0 biçiminde bir denklem n. basamaktan bir eğriyi gösterir. Bundan da anlaşılacağı üzere, cebir kendi düzenini geometriye aktarmış durumdadır. Birinci basamaktan eğriler birer doğru, ikinci basamaktan olanlar birer konidir v.b. Meselâ koniler konusunda cebir, meseleyi kendi açısından inceleyecek ve kendi usulüne göre elips, parabol ve hiperboller arasında birtakım ayırmalar yapacaktır. Bu arada, sınıflandırmalarda her zaman görülen yozlaşlaştırma tehlikesini de bu arada belirtmek yerinde olur. Bu araştırma ilkesi herhangi bir basamak çeşidine teşmil edilirse, cebirsel geometrinin de çerçevesi çizilmiş olur. Fakat bu çerçevenin belirtilmesi demek, aynı zamanda bu çerçevenin koordinatlar fikrinin genelleştirilmesiyle genişlemesi demektir. Düzlem geometride, bir noktanın koordinatıyle birlikte bir doğrunun koordinatları da tespit edilebilir; uzay geometride de bir doğru ile bir düzlemin koordinatlarını tespit etmek mümkündür v.b. Böylece de geometri, yeni geometrik varlıklar ve yeni ilkelerle zenginleşmeye doğru gider. Meselâ uzayda değişken bir doğrunun koordinatları arasındaki n. dereceden bir denklem, n. dereceden bir doğrular karmaşasını belirler.

Ve bir noktanın koordinatları arasındaki herhangi bir denklemden bir düzlemin ko-ordinatlarıyle meydana getirilmiş özdeş bir denkleme geçme imkânı, «ikilik» diye adlandırdığımız ilkeyi doğrular. Demek ki sadece cebirsel geometri sayesinde matematik araştırmaya açılan alan kendiliğinden sınırsız bir alandır.

Koordinatların değişmesi üzerinde de biraz açıklamada bulunalım. Bir koniğin, meselâ bir elips olması koordinatların seçimine bağlı değildir. Başka bfr deyimle, bu oluşum bu seçime göre değişmez bir olaydır ve cebirsel bir eşdeğerinin bulunması pek tabiîdir. Oysa bir karşılaştırma sisteminin değişmesi koordinatlarda yapılan bir omat-mayle açıklanır. Böylece de hem ornatmalar teorisi, hem de değişmezler teorisine yol açılmış olur.

Fazla ayrıntılara girmeden, homogen veya izdüşümsel koordinatların katılmasıyle, cebirsel geometri çerçevesinde izdüşümsel bir geometrinin doğduğunu (bu izdüşümsel geometrinin konusu izdüşümsel bir dönüşüm veya kısaca bir izdüşümdür) ve Cayley’in (1821-1855), matematik metotları açısından beklenmedik bir öneme kavuşacak olan izdüşümsel bir ölçübilim kurduğunu söylemekle yetinelim.

Cebirin kendisi de geometriyle bağlantısından yararlanacak mıydı? Cebir kendi fonk-siyonuyle gelişecek ve yönünü bulacak; kendi rolünün gereklerine uygun bir seviyede kalmanın yollarını arayacak; denklem sistemleri (lineer denklem sistemleri meselâ), formlar ve ornatmalar cebiri, vektör ve tansör cebiri Y.b. olacak; değişmez, determinant, matris, tansör v.b. gibi yeni kavramlarla zenginleşecek ve bildiğimiz bugünkü soyut biçimine kavuşmadan önce kapsamına yeni yeni işlemler alacak; yeni algoritmalar icat edecek; vektör hesabı, tansör hesabı, matris hesabı v.b. gibi aşamalardan geçecekti.
Yukarıda ana çizgilerini belirttiğimiz geliş-mede kimlerin rol oynadıklarını pek tabiîdir ki burada saymamıza imkân yok. Cebirin akıl almaz gelişmesi düşünülünce, cebir faaliyeti ile matematik faaliyetin aynı şey olduklarını ileri sürmek ilk akla gelen şeylerden biridir. Analiz meselesini önce tarih açısından, sonra da gelişmesi bakımından ele alınca bu iddiaların ne kadar dayanaksız olduğu kendiliğinden ortaya çıkar.

• Analizin keşfi. Newton (1643-1727) ile Leibniz (1646-1716) haklı olarak sonsuzkü-çükler analizinin yaratıcıları sayılırlar (zaten kendi aralarında da bu şerefi paylaşa-mamışlardır). Fakat analizi hiç yoktan var-ettikleri de söylenemez. Konuyu dar bir açıdan ele almak istemezsek diyebiliriz ki, analiz sonsuz ile sonsuzküçügü kendi kapsamına almakla cebiri aşan bir disiplindir. Sonsuz kavramı yunan düşüncesinde de ortaya çıkmış, fakat önce bir engel sayılmıştı: Zenon paradoksu (Akhilleus ve Kaplumbağa), sonsuz terimli bir sayının toplamı yapılamayacağı fikrine dayanıyor ve meselâ:

231

1 1 1 2 = 1+ — + — + — v.b.

2 4 8 gibi bir eşitliğin düşünülemeyeceğini ileri sürüyordu. Eudoksos’un tüketme sistemi bu güçlüğü ortadan kaldırmıştı. Arkhimedes’in bu sistemi, parabol parçasının kareleştirilmesine uygulaması bugün de matematik kesinliğin bir örneği sayılır.

Gerçi sonsuz çarpanların, sonsuz terim ve çarpımlarının toplamları (seriler) sonsuzkü-çükler hesabının kurulmasından çok önce de sözkonusuydu. Bunun böyle olduğunu kabul etmek için,

ir 22446688 ……

2 13355779 ……

şeklindeki sonsuz bir çarpım yardımıyle v’yi belirleyen Wallis (1616-1703) formülünü hatırlamak yeter. Fakat, bu yoldan sunulan sonuçlar cebir biçimciliğinin geniş kapsamlı bir uygulamasından çok kesinliğe varmak tasasıyle yapılmış bir hesabın ürünleridir. Böylece «yeni hesap»ın kurulmasından hemen önce sonsuz işlemler kullanılmağa başlanmış, yeni hesap da bu kul-nımdan yararlanmak imkânını bulmuştur. Zaten gerçek bir kesinliğe varmanın şartları çok daha sonraları tam bir açıklığa ka-vuşabilmiştir.

Yeni hesabın yararlanacağı başka bir sonsuz «kullanım»ı da bölünmezler geometrisinin kullanımıdır. Bölünmezler geometrisi, bir alanı, belirli bir yöne paralel bütün doğru parçalarının toplamı saymak cüretini gösteriyor ve aynı şekilde bir hacmi sonsuz sayıda bölünmez düzlemlerin toplamı sayıyordu. Cavalieri (1598-1647), Roberval (1602-1675) ve Paseal’ın (1623-1662) ortaya attıkları bölünmezler teorisi bir bakıma, bir alanın veya bir hacmin bir integralle hesaplanması yolunda bir hazırlıktı. Pascal bu yoldan birkaç basit fonksiyonun integ-rallerini de hesaplamayı başardı. Yeni metotların haklı olarak bir kenara ittikleri bölünmezler hesabı buna rağmen yer yer bu yeni metotlara destek olmuştur.

Alanlar problemi integral hesabının doğmasına yolaçtığı gibi, teğetler problemi de, özellikle bir fonksiyonun minimumu ve maksimumu problemine yaptığı katkıyle diferansiyel hesabın doğmasına imkân vermiştir. Teğetin açısal katsayısı ile belirlenmesi, türev, flüksiyon, enstantane hız (bir hareket diyagramında) v.b. kavramlarına yol açtı.

Bu şekilde ele alınan .türev alma ve: integral alma işlemleri kendiliklerinden birbirlerine karşıt iki işlem gibi görünmüyorlardı. Gerçekten de bu temel özelliğii bir anda kavramak imkânsızdır. Galilei’nin mermiler üstünde yaptığı incelemede bu temel özelliğe rastlarız. Descartes ile Fermat ise bu karşıtlığa bazı özel hallerde rastlarlar. Torricelli (1608-1647) ve Newton’im hocası Barrow da (1630-1677) bu özelliğin bilin- , cine varmışlardı. Leibniz ve Newton’da ise bu temel özellik benimsenmiş, yerli yerine konmuş, fakat gene de türev alma ön planda tutulmuştur.

Yeni hesap büyük bir hızla gelişti. Türev

temel kavramlar ve bütün «sonsuz usuller» tekrar ele alındı ve bu görüş çerçevesinde (sürekli, türev, intégral, bir serinin toplamı, sonsuz bir çarpımın değeri v.b. kavramları) aydınlığa kavuşturuldu.

Bu arıtma işlemini hiç bir tökezlemeye meydan vermeden yürütebilmek için «epsi-lonlar tekniği» denilen yeni bir teknik icat edildi. Daha önceleri gerçek bir kesinliğe kavuşturulmamış olmakla birlikte fonksi-yoıı kavramı uzun süre kullan ilmiş, bu kavramın anlamını iyice sınırlayabilmek için özellikle Lagrange tarafından birçok .denemeye girişilmişti. Sözünü ettiğimiz genel hazırlık ve tanımlama üolayısıyle, ana2 litik fonksiyon kavramı (karmaşık bir değişkenden türetilebilecek fonksiyon) bir ger-çek^ değişkenin fonksiyonu yanında yer almağa hak kazandı. Bununla ilgili araştır» malar, bir fonksiyonlar teorisinde toparlanarak alabildiğine bir kapsam genişliğine kavuştu ve analizin de bu sayede birleştirici bir yaygınlığa ulaşabileceği anlaşıldı. Böylece bu temel kavramlar üstüne kurulan analiz, kesin bir doktrin halini aldı.

Hemen hemen aynı zamanda analizin mekanik veya fizikle ilişkisi de yepyeni bir özelliğe kavuşuyordu. Bütün bu bilim dalları, süregelen ve hattâ güçlenen işbirlik-leriııe rağmen kendi ayrıcalıklarını da yavaş yavaş ortaya koymağa başlamışlardı. Euler, d’Alambert, Clairaut Laplace’ın mekaniğe ve gök mekaniğine katkıları o güne kadar matematiğin ayrılmaz bir parçasıydı. Buna en iyi örnek olarak Iag~ range’ın analitik mekaniğini gösterebiliriz. Varılan sonuçları yeniden ele alan analiz, bunları kendi çerçevesinde değerlendirdi; kapsamlarını genişletti, genelleştirdi ve denklemler ile âdi diferansiyel denklem sistemleri, birinci basamaktan diferansiyel denklemler, ikinci basamaktan diferansiyel denklemler, eliptik, hiperbolik ve parabolik denklemler, varyasyonlar hesabı v.b, birtakım kendi içinde tutarlı ayrı bölümler kurdu. Bu araştırmalar sırasında, büyük fonksiyon sınıflarının karşılıklı seri halinde açılmasına (bu açılımın ilk örneği, Fourrier serileri dediğimiz trigonometri serileridir) imkân veren eksiksiz dikgen fonksiyon sistemleri de ortaya çıktı.

Analiz ayrıca, kuvvet alanlau teorisine hâkim olabilmek için vektör ve tansot analizi haline dönüştü, V. Volterra ve S. Fred-holm ile büyük bir intégral denklemler ve integral-diferansiyel denklemler teorisi kurdu ve fonksiyon kavramı genelleşmiş şekline fonksiyonel kavramında kavuştuğu için, fonksiyonel analize yöneldi; analizin yaratıcı gücü hakkında tam bir fikir verebilmek için şu örneği de sayalını: Hilbert uzayı sonsuz boyutlu bir uzay fikrini, yakınsama fikri ve bir eksiksiz fonksiyonlar sistemiyle bağdaştırarak soyut ve genel bir analizin çerçevesini çizer.

Kendi öz temalarını, kendine özgü meseleleri gitgide daha serbest, daha takıntısız bir şekilde geliştiren ve benimseyen bu matematik faaliyetle birlikte mekanik ve fizik de, matematiğe indirgenemeyecekleri günden güne daha iyi açığa çıkan kendi özgürlüklerine kavuşmağa başladılar. İşledikleri tema, ele aldıkları konu, her ne kadar matematik ifadelere sıkı sıkıya bağlı ve muhtaç bir konuysa da, saf matematikçinin deneyiyle sınırlanamayacak başka bir deneye dayanır. Bu çifte özelliği gözden kaybetmemek için, matematiğin saf matematik olarak, uygulandığı alanlardan, bir çeşit dili, ifade aracı olduğu alanlardan sıyrıldığı söylenir.

Cebir ve analiz başka bir açıdan da tekrar birbiriyle kaynaştırılmış ve her ikisi de yapısal analiz halinde birleşerek yeniden ortaya çıkmışlardır. Bu yeni dönemin-bir faydası da, matematiğin uygulandığı alanlardan daha da ayrılması ve kendi ö-zerkliğine büsbütün kavuşması oldu. Fakat bu özerklik, analize düşen görevi, yani bilme faaliyetimizin bütün nesnel yönünü kapsayan bir organon olmasını engellemedi.
yol gösterici görevim hiç bir zaman tekrar yüklenmedi. Koordinatlar aracılığıyle cebne bağlandığını, cebirsel geometriye dönüşerek çeşitli gelişimler geçirdiğini, diferansiyel hesap ve integral hesaba yolaçan problemler çerçevesinde (özellikle teğetler problemi) analizle bağıntı kurduğunu gördük. Bütün bunlar, analizin geometriye uy-gulanmasıyle ortaya çıkan diferansiyel geometrinin ilk belirtileriydi. Bu araştırma alanında varılan sonuçları belirtmek için üç olay ve üç isim üstünde duracağız. Gausssun theorema egregium’u bir yüzeyin her noktasında, «Gauss eğriliği» dediğimiz eğrilik (veya «tüm eğrilik») bu yüzeyin genişlemesin her fleksiyonu için bir invari-yanattır. dsvsi ile karakterize edilen n boyutlu bir Riemann uzayında bu teorem eğrilik tansörünün aracılığıyle genelleşil. Riemann uzayları da kendi genelleşmiş şekillerine E. Cartan m affın, uygun v b. bağımlı uzaylarında kavuşurlar. Einstein’ın genel çekim teorisi, ifadesini Reimann’ın dört boyutlu uzayında bulur ve ancak Cartan’ın uzaylarında genelleştirilebilir.

Aynca, Cartanın bağım teorisinde Lie gruplarının, yani n boyutlu bir uzayın değişimi sürekli gruplarının »ölünü de belirtelim. Kendileri de önemli araştırmalara konu olan bu gruplar günden güne sayısı artarı alanlarda başvurulan güçlü bir çalışma aracıdır. Erlangen’de açıkladığı programında F. Klein, bu grupların sınıflandırmasından, geometrileri sınıflandırmada yararlanmayı önermişti; bu sınıflandırmaya göre geometri sınıflarının heı biri kavramlara dayanacak ve her birinde belli bir değişim grubu için değişmeyen özellikleri kapsayacaktı. Bu usule göre, Eukleides veya Eukleides drşı metrik geometriler, affin geometri, izdüşümsel geometri v.b. temel grup-larıyle ayırt edilirler.

Einsteıırııı genel bağıllığının yer aldığı Riemann uzayı, «Lorentz grubu» dediğimiz grupla belirlenrr.

• Yem geometriler Yukarıda sıraladığımız bu çeşitli araştırma doğrultuları arasında, konusu doğrudan doğruya geometri olan, eski Yunanlıların sat geometrisine bağlanabilecek bir geometri yok mudur? Şimdi bunlardan üçü üstünde duracağız.

Bu geometrilerden ilkiruıı hareket noktası, Rönesans ressamlarının perspektif çalışmalarıdır. Bunun ilkelerini sadece Piero Della Francesca’da aramak doğru olmaz. Desar-gues’daıı sonra «sentetik geometri» denilen dolaysız bir izdüşümsel geometrinin doğduğunu görüyoruz. Carnot, Poncelet ve Chas-les (geometri metotları üstüne bir incelemesi vardır) gibi fransız geometri uzmanlarının ve bu arada isviçreli büyük geometri bilgini t. Steiner’rn geliştirmeğe çalıştıkları bu geometri, alman geometri uzmanı von Staudt sayesinde bağımsızlığına kavuştu. Fakat, izdüşümsel koordinatları kullandığı için kısa bir süre sonra bu geometri cebirsel geometri çerçevesine girdi.

Gelişme doğrultularının İkincisi, elernanter geometrinin doğrultusu, özellikle de Eukleides paralelleri postulatının tartışmasıdır. Bu postulat daha Eukleides’ın ilk yorumcuları tarafından, doğruluğu bakımından değil de inandırıcılığı bakımından şüpheyle karşılanmıştı. Bu yüzden Eukleides’in postulatını ispatlamak veya herkesçe kabul edilebilecek başka bir postulat ortaya atmak için çaba gösterildi. Tartışma, Araplar arasında da devam etti (Nasreddin ve Şem-seddin el – Semerkandî’nin [1276] denemeleri). Batı’da yeniden ele alınan bu tartışma birçok geometriciyi, bu arada P. Sac-ceheri’yi (1667-1733), Lambert’i (1728-1777), Legendre’ı (1752-1833) ve Gauss’u (1777-1855) uğraştırdı. Kabul edilegelen açıklıklardan hareket ettiğimiz zaman paraleller postulatını ispat edemeyeceğimizi ilk defa akıl eden Gauss oldu. Düşüncesini açıkla-mamakla beraber, bıraktığı notlardan anladığımıza öre Gauss, paraleller postulatının yanlış sayıldığı eukleides’çi olmayan ve «hiperbolik» diye nitelenen geometriyi keşfetti. Gauss’un vardığı bu sonuca bir süre sonra geometrici Bolyai (1802-1860) ve rus geomet-ricisi Lobaçevskiy de (1792-1856) vardılar.
Lobaçevskiy’in doğru bir geometri kurmak için kullandığı metot Eukleides’in metodundan tamamen ayrıdır. Analitik geometri çerçevesinde bu tartışma meselesi bir yandan aydınlığa kavuşurken, bir yandan da karanlık bir hal aldı. Gerek hiperbolik geometrinin, gerek Eukleides geometrisinin, gerek Riemann (1826-1866) tarafından bulunan eliptik geometrinin tümdengelimi! mantrk bakımından kusursuz oldukları herkesçe kabul ediliyordu. Fakat ikişer ikişer ele alrn-dıkları zaman tümünün de çelişik oldukları açık bir gerçekti. Bu çıkmazdan kurtulmak için geometri metodu kullanılamadığına göre, ilk bakışta, son sözü analize bırakmak zorunlu görünüyordu. Buna rağmen söz konusu geometrilerin her birine aksiyomatik metodu uygulamanın mümkün olmasıylc, metodoloji alanında oldukça büyük bir hamle yapıldı. Bu hamleyi D. Hilbert’in (1862-1943) meşhur Grundlagen der Geo-metrie’sine (Geometrinin Temelleri) borçluyuz. Fakat Hilbert ile ana doktrin de temelinden değişti. Temel aksiyomlar artık kendiliklerinden açık ve kabul edilebilir önermeler aylamayacaklarına göre, bunların rolü, aksiyomlara uymaktan başka bir özelliği olmayan elernanter kategoriler arasrnda geçerli görülebilecek mantık bağıntıları ifade etmektir. Fakat böyle bir aksiyomlar sisteminin çelişik olmaması, temel ifadelere ve bütün sonuçlarından meydana gelen cümlelere aykırı düşecek ifadelerden kurtulması için ne gibi bir kıstasa başvurmalıdır? t)ç geometriyi bu bakımdan ele alan Hilbert doğruluk garantisini analizin veıebıleceğini ispatladı. Bu meselelerin, matematik metodundaki son değişikliklerde büyük etkisi oldu. Hilbert’ın Grundlagen9i de, geometri üstüne geniş aksiyomatik araştırmaların yapılmasına yol açtı.

Dolaysız geometri araştır malarının üçüncü doğrultusu, yani Leibniz’in Analysis situs dediği topoloji doğrultusu hakkında birkaç sözle yetineceğiz. Topolojinin konusu, herhangi bir sürekli deformasyonun değiştire mediği şekillerin, biçimlerin ve özelliklerin incelenmesidir. Meselâ bir yüzeyde kapalı olma özelliği veya bir tor’un deformas-yonu olma özelliği ele alımı. H. Poinca-re’nin (1854-1912), bunun cebirsel olarak ifade edilmesinde büyük katkısı olmuştur. Bugün yeni cebire ve gruplar teorisine bağlanan topoloji günden güne yapısal matematiklerin kapsamına girmektedir.

Çeşitli matematik ve disiplinlerim sıraladığımız bu özetin eksiksiz olması için, sayılar teorisini ve ihtimaller hesabını da saymamız gerekir. Fermat’dan bu yana sayılar teorisi birçok büyük matematikçi tarafından ele alınmıştır. Fakat teoriye ilişkin çetin araştırmaları burada birkaç kelimeyle özetley enleyeceğiz.

ihtimaller hesabına gelince, bu konuyu matematiklerin metodundan söz ederken ele alacağız.

• Yapılar matematiği. Matematiklerin metodu açısından aksiyomatik metoda dönüş (Hilbert), büyük bir dönüm noktasıdır. Fakat dönüm noktasını bir geriye dönüş sanmak doğru olmaz: Hilbert aksiyomatiği Eukleides aksiy omatiğınden büsbütün başkadır. Bu olayı gereğince değerlendirmek için daha geniş bir çerçeve içinde ele almalıyız.

XIX. yy.da cebir ve analizin yanı sıra iki yeni disiplin doğmuştu: sembolik mantık ve cümleler (veya kümeler) analizi. Boole (1815-1864), Schröder (1841-1902) ve Fre-ge’nin (1848-1925) temsil ettikleri birinci disiplinin maksadı her şeyden önce mantıkî muhakemeyi bir cebir hesabına indirgemektir («Boole cebiri» denilen bu cebir klasik cebirden oldukça farklıdır). Bu ilk amacını zamanla aşan sembolik mantık oldukça geniş bir alana yayıldı ve predicat’lar mantığı, sınıflar mantığı, önermeler mantığı v.b. diye kollara ayrıldı. Hattâ Whitehead (1861-1947) ve Russell’in (1872-1970) Principia Mathematica’larıyle büyük çapta birleştirici bir teşebbüse girişerek bütün marn atikleri sadece kendi temel kavramları ve ve kuruluş kurallarıyle ifade etmeğe yöneldi. Cebir, analiz ve geometri cümleler kavramından gittikçe artan bir özgürlük ve genelleştirme çabasıyle yararlandıkları için bu kavramın er geç derin araştırmalara konu olması beklenirdi. Bir genel cümleler teorisini ilk defa ortaya atan G. Cantor (1845-1918) oldu. Bu teori özellikle kuvvetleri bakımından birbirinden ayırt edilebilecek sonsuz cümleler üstünde durur ve sonsuz bir sayılamanın ortaya koyduğu sonlu basamaklar ve sonsuz basamak ötesinde tedricî bir aşamayle art arda gelen sonsuzöte-si basamakları kurar. Sembolik mantık gibi cümleler teorisinin de kavramsal unsurları ve kendi kuruluş usulleri, matematikler bütününün birleştirici bir ifadede toplanması için kullanılabilir; bu alanda atılacak iik adım gerçek sayılar cümlesinin sürekliliğini veya başka bir deyimle bir doğru noktaları cümlesinin sürekliliğini olanca açıklığıyle yeniden kurmaktır.

Fakat her iki disiplin de gelişmeleri sırasında beklenmedik bir şekilde birtakım paradokslarla, yani çelişik önermelerle karşılaştılar. Bu olay çok değişik tepkilere yol açtı. Tepkilerin en şiddetlisini gösteren Brouwer (1881-1966) doğrudan doğruya matematik muhakemenin kendisini suçladı ve özellikle üçüncüyü dışta bırakma ilkesinin sonsuz kategorilere uygulanabileceğini gösterdi. Bu matematik akılyürütme şeklinin yerine de, her adımını sui generis bir matematik sezginin ışığında atan ve kendi dışında daha güvenilir bir garantisi olmayan sezgisel bir düşünme metodunu ortaya koydu. Gerçi bu yola başvurulunca paradokslardan kaçınmak mümkündür ama klasik matematiklerin büyük bir kısmını da bu şekilde yeniden kurmak imkânsızdır.

Buna karşılık Hilbert klasik gıatematikleri uygulamanın herhangi bir çelişıheye yol açmayacağını ispatlamağa girişti. Bu maksatla da, kendi aksiyomatik metodunu aşarak biçimlendirici bir metodun temellerini atan bir ispatlama teorisi kurdu. Bir teoride yer alan aksiyomlar, başvurulacak mantık kurallarıyle aynı zamanda biçimlendi-rildiklerinden, tümdengelim işleminin yerini sembolleri kullanmağa ilişkin bazı kurallar alır. Bu şekilde hareket etmenin yasak, yani çelişmeye yol açabilecek formüller doğur amayacağını ispatlamak için, Hilbert ile Bern ay s önceleri sembollerin problematiksiz ifadesine başvurmayı düşünmüşlerdi. Her ne kadar kurucularının tasarladıkları şekliyle kalamadıysa da, ispatlama teorisi biçimlendirici usuller üstüne sayısız araştırmaya imkân verdi. Bir disiplinin başka bir disiplinin araçlarıyle ifadesi, her zaman bu iki disiplin arasında ortak bir yapısal yönü ortaya koyar. Hilbert’in görüşleri, matematikleri bütünüyle yeniden ele almak ve genel bir yapılar teorisine dönüştürmek yolundaki çalışmaları hızlandırdı. Burada söz konusu olan, matematik etkinliğin bünyesinde yer alan soyuta doğru bir gelişmedir. Bu gelişme daha çok cümleler teorisi ve bu cümlelerde bulunabilecek yapıların incelenmesi ile cebirler (kuaterniyonlar cebiri gibi basit ce-birin dışmda kalanlar), gruplar v.b. ile gerçekleştirilen yapıların incelenmesi arasındaki kaynaşma ile oldu. Bu yeni eğilimin en belirgin örneği günümüzdeki topoloji çalışmalarıdır.

Matematiklerin genel olarak yeniden ele alınması, özellikle «Bourbaki okulu» diye bilinen fransız okulu sayesinde gerçekleşti. Şunu da belirtelim ki, matematiklerin böyle yeni bir biçimde ortaya çıkmasını, cümleler teorisi temellerinin bir açıklığa kavuşturulmamış olması engelleyemedi. Demek ki matematikçinin soyuta di>ğm yönelmesini doğrulayan ve garanti eden, çelişmezliği uzun zamandan beri defalarca denenmiş bir etkinlik çerçevesinde yer almasıdır.
karşılık olarak belirli bir kavramlar bütününü ve bu kavramlar arasında bağıntı kurma tarzlarını ortaya koyabilir. Bu «karşılık», bu cevap, göz önünde bulundurulan gerçek şartların sadık bir tekrarı değil, bu şartların idealleştirilmiş bir taslağıdır. Matematikçinin ister deneyine devam etmesine, ister kendi zihnî üretiminin sonuçlarını ortaya koymasına hiç bir engel yoktur. Deşmek ki hesabın doğuşu belirli bir ikilik ilkesine göre olur.

Uygulanması ve alacağı yer bakımından da hesabın iki yönde gelişmesi mümkündür: bir matematik disiplini olarak, soyuta giden genel harekete katılabilir ve bir genel yapılar teorisinde yer alabilir. Uygulamalı bir disiplin olarak ise, müdahale alanı bütün bilgi alanını kapsayacak şekilde geniş-letilebilir.

ikilik ilkesi matematik disiplinlerinin bütününe teşmil edilmelidir. Bu ilke, matematik yaratma gücünün günden güne artan özgürlüğü iie matematik uygulamaların günden güne artan kesinliğini karşılaştırmağa imkân verir. Böylece matematiğin, gerek insan zihninin gelişmesinde, gerek bütün tekniklerin ilerlemesinde ne kadar önemli ve vaz geçilmez bir rol oynadığı daha iyi anlaşılır. (l)

Etiketler: , , , , , , ,

Yorum yazın