Aritmetik Nedir

Aritmetik Nedir

Aritmetik NedirAritmetik, sayıları kullanma sanatı ve bilimidir. Cebir geometri ve trigonometri gibi aritmetik de matematiğin bir bölümünü oluşturur.

İnsanlar saymasını öğrenmeden evvel sayılar hakkında belli fikirler edinmişlerdi. Eski insanlar, örneğin bir sürüdeki hayvan sayısının öbür sürüdeki hayvanlardan daha çok olduğunu bilebilirler, fakat fazla hayvan sayısını bilemezlerdi. Daha sonra, sürüdeki her bir hayvanın karşılığı olarak bir ağaç üzerine bir çentik veya toprak üzerine bir çizgi çizmeye başladıklarında bu konuda büyük bir aşama yapmış oldular. Giderek sayı kavramı ortaya çıktı. Sayıları simgelemek için çeşitli uygarlıklar birbirinden farklı birçok sistemler geliştirdiler. Bunlardan biri olan ve bugün de kullanılmakta olan Romen rakamları bundan 3000 yıl önce bulunmuştur.-

Eski Romalılar, sayıları şu şekilde saymaktaydılar:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X. Bu sayı sistemi, yeni bir kavram, konum kavramı getiriyordu. Gerçekten de rakamların değeri, birbirlerine olan konumlarına bağlı olarak değişiyordu, örneğin yanyana iki rakamdan, sağda olan soldakinden küçükse veya ona eşitse bu iki rakam toplanır; böylece VI, 6’yı XX ise yirmiyi gösterir. Buna karşılık solda olan rakam, sağdakinden küçükse ondan çıkarılır; böylece 4, IV şeklinde yazılır. Romen rakamlarında 10’un sembolü X dir. Buna göre 9, IX şeklinde; 11 ise XI şeklinde yazılır. Romalıların kullandıkları diğer rakamlar ise şunlardı: L = 50, C = 100, D = 500 ve M = 1000. Bu yöntem, o çağa göre ileri olmakla birlikte işlemlerde büyük zorluk doğuruyordu.

Bugün kullanılan sayı sistemi: Bugün kullanılmakta olan sistemde rakamların konumu daha farklıdır, ilk dokuz sayının sembolleri şöyledir. 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9. Bu sembollerin her birine rakam adı verilir. Sembollerin sayılardaki konumuna da basamak adı verilir. İlk dokuz sayı birler basamağını oluşturur. Birler basamağının solunda onlar basamağı yer alır. Gerçekten de, birler basamağından daha büyük değerde bir sayının yazılması için birler basamağındaki rakkamın soluna o sayıda kaç tane onlar basamağı bulunduğu yazılır. Örneğin, 43 sayısı, 4 tane 10, 3 tane de 1 içerir. Bu sayı sistemi Araplar tarafından bulunmuştur. Onlar basamağının solunda yüzler basamağı yer alır. Bu basamak, sayıda kaç tane 100 olduğunu gösterir, örneğin 336 sayısında 3 tane 100, 3 tane 10 ve 6 tane de 1 vardır.

Bir basamağın boş olduğunu belirtmek için de sıfır kullanılır. Sıfır, örneğin 23, 203 ve 230 sayıları arasındaki farkın belirtilmesini sağlar.

Bu sistemde on sayısının yazılması için iki rakkam gerekir. Bu nedenle ondalık sistem (ya da desimal sistem) olarak adlandırılır.
Bir an için sayı sisteminin on yerine beş üzerine temellendirildiğini düşünelim. Bu durumda Sayıları gösteren simgeler 1, 2, 3, 4, veO olur. 4 sayısından sonraki değerler i yazarken birler basamağının solundaki basamak, sayıda kaç tane 5 olduğunu gösterecektir. Böylece 5 sayısının yazılışı, 10 biçiminde olacaktır. Bunun gibi 11 altıyı, 12 ise yediyi gösterecektir. İki basamak kullanılarak yazılabilecek en büyük sayı ise 44 olacak ve 4 tane beş ve 4 tane biri yani (4X5+4X1) yirmi dördü gösterecektir. Daha büyük sayılar için üçüncü basamağı kullanmak gerekecek ve 100 yirmi beşi, 101 ise yirmi altıyı gösterecektir. Beşe temellendirilen sayı sisteminde sayıların, ona temellendirilmiş sisteme oranla daha fazla yer kapladığı görülüyor.

İkilik adı verilen sayı sistemi ise ikiye temellendirilmiştir ve yalnız iki sembol kullanır. Bunlar 0 ve Tdir. İkilik sistemde sayıların yazılması çok yer kaplar. Ancak bilgisayarlar temel olarak bu sistemi kullanır.

Toplama işlemi, bütün aritmetik işlemlerin temelidir. Çıkarma işlemi de toplama işleminde kullanılan yöntemle yapılır. Bir sayının başka bir sayıdan çıkartılması durumunda, örneğin, 7’den 2’yi çıkartırken, şu soru sorulur: Küçük sayıya ne eklenirse büyük sayı elde edilir? Cevap şöyledir: Küçük sayıya, yani 2’ye 5 eklenirse büyük sayı, yani 7 elde edilir, işte böylece 7’den 2 çıkartılmasının sonucu küçük sayıya ilave edilen 5’tir.

Bölme işlemi de çıkartma ile ilişkilidir. Nasıl çarpma işlemi ard arda yapılan bir toplama işlemi ise, bölme de ard arda yapılan bir çıkartma işlemidir. 24’ü 6’ya bölmek için, 24 sayısından sıfır elde edilinceye kadar 6 sayısı ard arda çıkartılır. Sıfır elde etmek için kaç kez çıkartma yapılırsa bölme işleminin sonucu bu olur. Yukarıdaki örnekte6 sayısı 24 sayısından 4 kere çıkartılınca sıfır elde edilir. Böylece 24’ü 6’ya bölmenin sonucu 4’tür.

Kesirler: Bir sürü içindeki hayvanların veya bir küme içinde bulunan çocukların sayısını belirtmek için kullanılan sayılara tam sayılar adı verilir, çünkü bu sayılar tam olan şeyleri bütünleri belirtmektedirler. Ancak parçalara ayrılabilen şeyler de vardır, örneğin bir lira yüz kuruşa ayrılır; bir kilogram bin grama ayrılır. Bu türlü sayısal değerleri belirtmek için kesirli sayılar kullanılır.

Bir pastayı birden fazla parçaya ayırabilirsiniz. Eğer pasta dört eşit parçaya ayrılmışsa, her parçanın büyüklüğü 1/4 sayısı ile gösterilebilir. Pasta üç parçaya bölünmüşse, her parçanın büyüklüğü 1/3 sayısı ile gösterilir. Büyüklüğü 1/3 sayısı ile gösterilen parçadan, pastada 3 tane vardır. Ancak bazı durumlarda büyüklüğü tam sayılarla çarpılarak bütün bir pasta elde edilemeyen parçalar da olabilir. örneğin, pastanın 1/3’ünden biraz daha büyük bir parçayı ele alalım. Pastanın bütünü içinde bunun üç katından biraz daha azı vardır. Eğer parça pastanın 1/2’sinden de küçükse, o zaman pastanın bütünü içinde bu parçanın iki katından daha fazlası olacaktır. Demek oluyor ki bir parça, tam sayıların katları olarak gösterilen parçalar biçiminde olmayabilir. Ancak yine de bu parçanın büyüklüğü gösterilebilir. Bu küçük pasta parçasının, kendisinden daha küçük pastaların bir araya gelmesiyle oluştuğu düşünülür. örneğin bu parça, pastanın bütününün 1/12′ sinden besinin bir araya gelmesiyle oluşmuş olabilir. Bu durum 5/12 olarak yazılır ve on ikide beş olarak okunur.

Bunun gibi 17/239 kesiri bir bütünün 239 parçaya ayrıldığını ve bunun 17 parçasının bir araya getirildiğini gösterir.

Ondalık sistemde tam sayılar, içerdikleri yüzlere, onlara ve birlere göre yazılır. Bunun gibi kesirli sayılar da içerdikleri onda bir, yüzde bir, v.b. ye göre yazılır. Bir sayının kesirli kısmı virgülle ayrılır. 3/4 sayısı ondalık sistemde 0,75 olarak yazılır ve 75 adet yüzde bir, veya 7 adet onda bir ile 5 adet yüzde bir içerdiğini gösterir.

Kesirli sayıların hepsi ondalık sistemde tam olarak yazılamaz; bazı durumlarda kesirli sayıyı belirtmek için bir dizi rakamın yazılması gerekir, örneğin 1/9 sayısı ondalık sistemde, 0,111111… olarak gösterilir, yani 1 sayısını sonsuza kadar yazmak gerekir. Bir başka örnek ise 1/7 sayısıdır; burada da 0,142857 142857 dizisi sürekli olarak tekrarlanır.

Bugün kullanılmakta olan birçok para sistemlerinde birim para yüze bölünmüştür, örneğin bir lirada yüz kuruş vardır. 4 3/4 liranın içinde dört lira ve yetmişbeş kuruş bulunur.

Basitleştirilmiş hesaplama: Hesapların basitleştirerek yapılmasında çeşitli yöntemler kullanılmaktadır. Hesap yaparken sayıları, işlem yapması daha kolay sayılara indirgeyip ortalama bir sonuca ulaşmak zaman kazandırır, örneğin 18×27 hemen hemen 20 X 25’e eşittir ve bunun sonucunun 500 olduğu da kolayca bulunur. 18×27’nin doğru sonucu ise 486’dır. Ortalama işlemlerin yararı kısa yoldan yaklaşık bir sonuç alınabilmesi-dir.
Ortalama değerlerle işlem yapıldığında sayılar, kendisine en yakın olan onlar basamağına getirilir. örneğin, 51 veya 54 sayısı 50 sayısına indirilir. Eğer işlemdeki sayı 56 veya 59 ise 60 sayısına çıkartılır. 5 ile biten 55 ise, ya 50’ye indirilir ya 60’a çıkartılır. Sayıların en yakın yüzler basamağına getirilmesi de söz konusu olabilir, örneğin 623×291 işleminde, sayılar 600 x 300 olarak yu-varlatılabilir ve bu şekilde sonucun, 180 000 dolaylarında olduğu bulunur.

Bazı durumlarda bir sayının bir başka sayıya tam olarak bölünüp bölünmediğini kısa yoldan öğrenmek gerekebilir. Bölünebilirlikle ilgili aşağıdaki kuralların bilinmesi büyük kolaylık sağlar.

Bütün çift sayılar 2’ye bölünebilir.

Bir sayının 3’e bölünebilmesi için sayının rakamlarının toplamının 3’e bölünebilmesi gerekir, örnek: 972 sayısı 3’e bölünebilir, çünkü rakamlarının toplamı olan 9 + 7 + 2+=18, 3’e bölünebilir.

Son iki rakamı dörde bölünebilen sayılar 4’e bölünebilir. örnek: 13 628 sayısı 4 ile bölünebilir, çünkü 28 sayısı 4’e bölünebilir.

Sonu 5 veya sıfır ile biten sayılar 5’e bölünebilir. 3’e bölünebilen bütün çift sayılar 6’ya da bölünebilir.

Bir sayının 11’e bölünüp bölünemediğini anlamak için şu yöntem kullanılır: Sayının birinci, üçüncü ve beşinci, v.b. rakamlarıyla ikinci, dördüncü, altıncı, rakamlar toplamının farkı 0 ise veya 11’e bölünebiliyorsa o sayı 11’e bölünebilir.

örnek: 64207 sayısı 11’e bölünebilir. Çünkü:

6 + 2 + 7 = 15; 4+0=4; 15-4 = 11; 11 ise 11’e bölünebilir.

Eski çağlardan beri birçok “hesap makineleri” geliştirilmiştir. Bu makineler, genellikle karmaşık olan çarpma ve bölme işlemlerini daha basit olan toplama ve çıkartma işlemlerine dönüştüren basit aygıtlardı. Abaküs, bu tür hesaplama makinelerinin en eskilerinden biridir. Bu hesap makinesi çok uzun işlemlerin, tel veya çubuk üzerinde hareket eden boncukların sayılması ile yapılmasını olanaklı kılar.

Çarpma işlemi, üzerinde sayılar yazılmış olan bir dizi karton şerit aracılığı ile toplama işlemine dönüştürülebilir. Birden dokuza kadar olan sayılar ayrı ayrı şeritlere yazılıdır. Sayılar şeritlerin üst kısmına yazılır ve altına da bu sayının katları yazılır, örneğin, üst kısmında 3 yazılı olan şeritte sırasıyla 3 sayısının katları olan 6, 9, 12, 15 v.b. sayılar vardır. Bu şeritlerle örneğin, 4×137 işleminin yapılması için, ilk önce üzerinde 1,3 ve

7 yazılı olan şeritler yanyana getirilir. Daha sonra dördüncü satırdaki sayılara bakılır. Dördüncü satırda, birinci çubuk üzerinde 4, İkincisinde 12 ve üçüncüsünde ise 28 sayıları vardır. Soldan başlı-yarak, ayrı ayrı çubuklarda yan yana gelen rakamlar toplanır (4 + 1 = 5 ve 2 + 2=4). Üçüncü çubuktaki 8 rakamı olduğu gibi kalır. Sonuç olarak da4 X137 işleminin 548 olduğu bulunur.

137 ile 43 sayısını çarpmak için önce 137, 40 ile, daha sonra da 3 ile çarpılır ve elde edilen iki sonuç toplanır. 40 ile 137 sayılarının çarpımında ise 4 ile 137 çarpılır ve elde edilen sonuca 0 eklenir.

Eski çağlarda yaşayan insanların çoğu sayılarda büyülü bir gücün olduğunu düşünmüşlerdir. Her sayıyı ayrı ayrı inceleyerek içlerindeki bu büyülü gücü aramışlar ve bunun sonucunda bazılarının kendine özgü niteliklerini saptamışlardır.

Eski Yunanlılar, özellikle asal sayılarla ilgilenmişlerdir. Asal sayılar, kendisinden ve 1 sayısından başka bir sayıya bölünemiyen sayılardır, örneğin 19, 23, 29, 37 asal sayılardır.

Sayı dizisindeki ilk asal sayılar 2, 3,5,7,11,13 ve 17’dir (matematikçiler, 1 sayısının başlıbaşına bir asal sayı olmadığını kabul ederler). Belirli bir sayıya kadar olan asal sayıların bulunması için Era-tosthenes eleği adı verilen bir yöntem kullanılır. Bunun için ilk önce, seçtiğiniz bir sayı, diyelim, 100 sayısına kadar olan sayıları 2 sayısından başlayarak sıra ile yazın. Baştan başlayarak 2 sayısı hariç olmak üzere 2’nin bütün katlarını atın. Bundan sonra 3 sayısı hariç olmak üzere 3’ün katlarını atın. 4 sayısı atılmış olduğu için 5’e geçin ve 5 hariç olmak üzere 5’in katlarını atın. Bu şekilde 100 sayısına kadar gelin. Bütün bu işlemlerin sonunda kalan sayılar, 1’den 100’e kadar olan sayı dizisi içinde yer alan asal sayılardır.

Eski Yunan uygarlığının daha kuruluş döneminde Çinliler ilk kez sihirli kareyi geliştirdiler. Sihirli karenin her satırında, sütununda dizili sayıların toplamı ve çaprazlama dizilmiş sayıların toplamı aynı sayıyı verir; bir kare içinde aynı sayı bir kereden fazla kullanılmaz. Bir köşesinde 3 rakam olan kareye 3×3 karesi adı verilir. Bunda 1 ile 9 arasındaki rakamlar bulunur. 4×4 karesinde ise 1 ile 16 arasındaki sayılar bulunur.

Aritmetik, okullarda matematiğin en basit bölümü olarak değerlendirilir. Ancak matematikçiler, sayıların özelliklerini inceleme anlamına gelen “sayılar teorisini” oldukça ilginç sayarlar.

Yorum yazın