Vektör Nedir

Vektör Nedir
vektör, hem büyüklüğü, hem de doğrultusu ve yönü bulunan nicelik. Örneğin, mekanikte, kuvvet vektörel bir niceliktir; çünkü bir cisme uygulanan kuvvetin etkisi, kuvvetin hem büyüklüğüne, hem de doğrultu ve yönüne bağlıdır. Ayrıca bak. vektör analizi.

vektör analizi, matematiğin, hem büyüklüğü hem de doğrultusu bulunan nicelikleri konu edinen dalı. Skaler nicelikler olarak adlandırılan kimi fiziksel ya da geometrik nicelikler yalnızca büyüklükleriyle belirlenebilir; bu büyüklük genellikle uygun bir birim cinsinden ifade edilir. Örneğin, kütle gram cinsinden, sıcaklık Celsius derecesi (ya da başka bir sıcaklık ölçeğinin derecesi), zaman da saniye cinsinden tek bir sayıyla belirtilir. Skaler büyüklükler, grafik olarak bir sayısal ölçek (örn. saat kadranı, termometre) üzerindeki bir nokta olarak gösterilir. Buna karşılık, büyüklüğünün yanı sıra doğrultusunun da belirlenmesi gereken nicelikler vardır; bunlara vektörel büyüklük denir. Hız, kuvvet ve yer değiştirme bu tür nicelikler arasındadır. Vektörel bir nicelik, grafik olarak, yönlü bir doğru parçasıyla gösterilir; doğru parçasının uzunluğu vektörün büyüklüğünü belirtir, doğru parçası ve üzerine konan bir ok da vektörün doğrultu ve yönünü belirtir.

Vektör cebri. Bir vektör, yukarıda da belirtildiği gibi, yönlü bir doğru parçası olarak gösterilir; örneğin çizim l’deki AB yönlü doğru parçası, bir parçacığın A baş

langıç noktasından B noktasına gelmesiyle ortaya çıkan yer değiştirme olarak düşünülebilir. Vektörel nicelikler ile skaler nicelikleri koyu renkli (bold) harflerle göstermek gelenekselleşmiştir. Örneğin, çizim l’deki

AB vektörü a olarak,bu vektörün uzunluğu

(büyüklüğü) da (al biçiminüe gtftiKttü.

Birçok problemde vektörün başlangıç noktasının konumu önem taşımaz, bu nedenle uzunlukları ve doğrultuları eşit olan iki vektörün birbirlerine eşit olduklan kabul edilir.

İki a ve b vektörünün eşit oldukları simgesel olarak a = b biçiminde ifade edilir. Vektörler üzerindeki kimi temel işlemler geometri aracılığıyla tanımlanabilir. Çizim l’deki AB=a vektörü, bir parçacığın A’dan B’ye yer değiştirmesini gösteriyorsa ve parçacık daha sonra C konumuna gelmişse, parçacığın toplam hareketi A’dan C’ye yer değiştirme olarak alınabilir; BC=b ve AC=c olarak gösterilirse, a + b = c yazılması mantıklıdır. Demek ki a ve b vektörlerinin toplamı olan c vektörü, kenarlan AB ve AD olacak biçimde çizilen paralelkenarın AC köşegeni olarak bulunabilir; BC=b vektörünün B başlangıç noktasının konumu önem taşımadığından, BC = AD dir; demek ki AB+AD-AC olur. Çizim l’den AD+DC=AC olduğu görülmektedir; öyleyse vektör toplamı için

a+b=b+a (1)

değişmelilik özelliği geçerlidir. Vektör toplamının birleşme özelliği olduğu da kolaylıkla gösterilebilir; yani

(a+b)+c=a+(b+c) (2)

eşitliği geçerlidir; bu nedenle (2) eşitliğinin iki yanındaki ayraçlar yazılmayabilir ve bundan bir anlam karışıklığı doğmaz.

Eğer s bir skaler büyüklükse, sa ya da as, uzunluğu |s| |o| olan ve s pozitif ise a ile aynı yönde, s negatif ise a’ya göre ters yönde olan bir vektör olarak tanımlanır. Demek ki a ve -a vektörleri, uzunlukları aynı, yönleri birbirine ters iki vektördür. Yukarıdaki tanımlar ve (aşağıda s ve t ile gösterilen) skaler sayıların bilinen özelliklerinden şu eşitlikler yazılabilir:

s(ta) = (st)a (s + t)a = sa + ta (3)

s(a + b) = sa + sb.

Yukarıda verilen (1), (2) ve (3) kuralları alışılmış cebir kurallarının aynısı olduğundan, vektörler içeren doğrusal denklem sistemleri alışılmış cebir kuralları kullanılarak çözülebilir. Bu özellik, sentetik Euklei-des geometrisinin karmaşık çizimler gerektiren birçok teoremini yalnızca cebirsel yöntemler kullanarak kanıtlamaya olanak sağlar.

Vektörlerin çarpımı. Vektörler için iki tür çarpım tanımlanmıştır: Skaler çarpım ve vektörel çarpım.

İki a ve b vektörünün skaler çarpımı (nokta çarpımı ya da iç çarpım olarak da adlandırılır) a b biçiminde yazılır. Bu çarpım bir skaler niceliktir ve değeri |a| h cos(a,6)’ye eşittir; burada (a,b) deyimi a ile ft’niıı doğrultuları arasındaki açıyı belirtir. Geometrik olarak,

a b=a |ft| cos(a,Z>) (4)

= |a| x ¿’nin a üzerindeki izdüşümü yazılabilir. Eğer a ve b vektörleri birbirine dik iseler, a ■ b=0 olur; eğer a ve i vektörlerinin ikisi de sıfırdan farklı ise ve a . b=0 ise, bu,iki vektörün birbirine dik olduğu anlamına gelir. Eğer a=b ise cos(a, b)= 1 ve a ■ a=|aj2 olur; bir başka deyişle a ■ a çarpımı, a vektörünün uzunluğunun karesini verir. Vektörlerin skaler çarpımı, alışılmış cebirdeki değişmelilik, birleşme ve dağılma özelliklerine sahiptir.

İki a ve b vektörünün vektörel çarpımı (çapraz çarpım olarak da adlandırılır), axb biçiminde yazılır; bu çarpım

a X b = na|A| sin (a,b) (5)

vektörünü gösterir; burada n vektörü birim uzunluklu ve a ile b vektörlerinin belirledikleri düzleme dik bir vektördür; /ı’nin yönü, a vektörünü b vektörü üzerine getirecek biçimde döndürülen bir sağ vidanın ilerleme yönüdür (bak. çizim 2). Eğer a ve b langıç noktası olan O noktasına yerleştirilen bir kartezyen koordinat sistemindeki bileşenleri, ı, j, ve fc’nin,

r = x(t)i + y(t)j + z(t)k

ifadesindeki katsayılarıdır. Bu katsayıların türevlenebilir fonksiyonlar olması koşuluyla, r vektörünün t değişkenine göre türevi,

dr dx. dy. dz dı dt dt dt

vektörleri paralel ise axb =0 olur, a x b çarpımının büyüklüğü, kenarlan a ve b olan paralelkenarın alanına eşittir. Ayrıca, a vektörünü b üzerine getirmek ve b vektörünü a üzerine getirmek için gerekli dönme yönleri birbirinin tersi olduğundan,

aXb = -bXa

olacağı anlaşılır. Buradan, vektörel çarpımın değişmelilik özelliği göstermediği ortaya çıkar. Ama vektörel çarpım için (sa)x b =s(axb) biçimindeki birîeşmelilik kuralı ve

aX(b + c) = aXb + aXc (6)

biçimindeki dağılma kuralı geçerlidir.

Koordinat sistemleri. Fiziğin ampirik yasaları, fiziksel bağıntılann ve geometrik ilişkilerin belirtilmesi amacıyla seçilen koordinat sistemlerinden bağımsızdır; bu nedenle vektör analizi, fiziksel evrenin incelenmesi açısından çok yararlı bir araç oluşturur. Belirli bir koordinat sisteminin seçilmesi, vektörler ile bunların koordinat sistemindeki bileşenleri olan sayı kümeleri arasında bir karşılıklılık ilişkisi ortaya çıkarır; bu sayı kümeleri üzerindeki işlemlere ilişkin kurallar da doğru parçaları üzerindeki işlemlere ilişkin kurallardan elde edilir.

Aynı doğrultuda olmayan üç vektör (bunlar taban vektörleri olarak adlandırılır) seçilirse, herhangi bir A vektörü, kenarları A vektörünün taban vektörleri doğrultula-nndaki bileşenleri olan bir paralelyüzlünün köşegeni olarak belirlenebilir; bu belirleme tektir. Genel olarak, alışılmış kartezyen koordinat sisteminin eksenleri üzerinde (ve bu nedenle ikişer ikişer birbirlerine dik olan) üç birim vektör (bir başka deyişle uzunluğu l’e eşit olan vektör) alınır; bu birim vertörler i, j ve k olarak gösterilir (bak. çizim 3). Bu sistemde, x, y ve z, A vektörünün eksenler üzerindeki izdüşümleri olmak üzere,

A=xi+yj+zk olur. İki Aı ve Aı vektörü,

A=xi+xıj +X3 k

Ai-yıi+yij+yik

olarak gösteriliyorsa, (3)’te verilen kurallar uyarınca bu iki vektörün toplamı

Aı+Aı=(x+y’)i+(xı+y2)j+(xT,+yî)k (7)

Bir vektörün birbirine dik doğrultularda üç bileşene ayrılması

olarak ifade edilir. Bir başka deyişle, kartezyen koordinat sisteminde A ı ve A2 vektörlerinin toplamı, (x, + y,, x2 + y2, *3 + y3) sayı üçlüsüyle temsil edilen vektördür. Ayrıca,

1 ■ i =jj — k ■ k = 1 ij =j ■ k = k ■ i = 0

olduğundan, iki vektörün skaler çarpımı

■4, -A2 = x,y, + x2y2 + x,y, (8)

olarak yazılır. (6) kuralından yararlanılarak vektörel çarpım ifadesi de

AXA2=(x2y3-X3y2)İ

+ (xiy—xıyi)j+(xy2—x2yı)k (9)

olarak bulunur. Bir başka deyişle, vektörel çarpımı veren vektör, (9) ifadesindeki i.j ve ¿’nin katsayılarının oluşturduğu sayı üçlüsüyle belirlenen vektördür.

Vektörler 1×3 (ya da 3×1) matrislerle gösterilirse (7), (8) ve (9)’da verilen eşitlikleri matris gösterimiyle yazmak olanaklıdır. Böyle bir gösterim, vektör kavramını üçten daha büyük boyutlu uzaylara genelleştirme olanağı sağlar. Örneğin bir gazın durumu, genellikle basıncına (p), hacmine (v), sıcaklığa (7) ve zamana (t) bağlıdır; gazın durumunu belirten (p,v, T, t) sayı dörtlüsü üç boyutlu uzayın bir noktası olarak gösterilemez, ama cebirsel hesaplarda geometrik imgelem rol oynamadığından, a„a2,a,veat taban vektörleriyle belirlenmiş dört boyutlu bir uzay göz önüne alınabilir. Bu taban vektörleri,

10 0 0 1 0 10 0 0 0 10 L 0 0 0 1

matrisinin satırlarını oluşturan sayı dörtlüleriyle belirlenmiştir. Bu sistemde, bir x vektörü

x = x,«ı + x2a2 + x,a} + x4at

olarak yazılır; bir başka deyişle dört boyutlu uzayda her vektör, bileşenlerinin oluşturduğu (xu x2, X), xt) sayı dörtlüsüyle belirtilir.

Vektör diferansiyel ve integral hesabı. Üç boyutlu uzayda hareket etmekte olan bir parçacığın herhangi bir t anındaki konumu, sabit bir referans noktasını (O) parçacığa bağlayan r vektörüyle belirtilebilir; bu vektör konum vektörü olarak adlandırılır. Bu r vektörü, ucunun konumu zaman içinde değiştiği için f’nin bir fonksiyonudur. Baş-olarak tanımlanır; bu türev parçacığın hızını (v) verir, v vektörünün kartezyen bileşenleri (10) eşitliğinde i, j ve fc’nın katsayılarını oluşturur. Bu bileşenler de türevlenebilir iseler, parçacığın ivmesi, a=dvldt, (10) eşitliğinin türevi alınarak bulunur:

Skaler fonksiyon çarpımlarının türevlerine ilişkin kurallar, vektörel fonksiyonların skaler ve vektörel çarpımları için de geçerlidir. Vektörel fonksiyonların integralleri için de uygun tanımlar oluşturularak tüm vektör diferansiyel ve integral hesabım kurmak olanaklıdır. Vektör diferansiyel ve integral hesabı fiziksel bilimlerin ve teknolojinin temel çözümleme yöntemlerinden birini oluşturur.

Alanlar kuramı. Sürekli ortam mekaniğine (örn. akışkanlar mekaniği, esneklik, aerodinamik, ısı iletimi, elektrodinamik) ilişkin problemlerde belirli bir bölgenin her noktasında tanımlanmış skaler ya da vektörel fonksiyonlann göz önüne alınması gerekir. Uzayın, içindeki her nokta için skaler bir fonksiyon tanımlanmış bir bölgesi skaler alan olarak, vektörel bir fonksiyon tanımlanmış bir bölgesi ise vektör alanı olarak adlandırılır. Her noktasının sıcaklığı belirlenmiş bir bölge ya da her noktasının yoğunluğu belirlenmiş bir cisim, skaler alanlara örnek olarak verilebilir. Elektrik yükü taşıyan bir cismin çevresinde oluşan ve her noktadaki elektrik alan şiddeti vektörünün belirlendiği bölge de vektör alanına bir örnektir. Bir skaler alanın her P noktasında belirlenen u(P) skaler fonksiyonuna skaler nokta fonksiyonu; bir vektör alanının her noktasında belirlenen v (i3) vektörel fonksiyonuna da vektörel nokta fonksiyonu denir.

Bir skaler alanın gradyam. Bir P noktasındaki skaler nokta fonksiyonun değeri u(P), yakındaki bir P’ noktasındaki değeri ise u(P’) ise, ve P noktasından P’ noktasına yönelmiş vektör Ar ile gösterilirse,

u(P’)~u(P)

|Ar|

oranı, u(P) fonsiyonunun Ar doğrultusundaki ortalama uzaysal değişim hızını verir. Bu oranın | Ar | —<>0 iken limiti ise (eğer bu limit varsa) u(P) fonsiyonunun Ar doğrultusundaki uzaysal değişim hızım verir. Söz konusu u(P) fonksiyonunun uzaysal değişim hızının en büyük olduğu doğrultudaki vektör, u(P) fonksiyonunun gradyam olarak adlandırılır ve grad u ya da yu olarak gösterilir. Kartezyen koordinat sisteminde

du . du du V«= — / + —j + —k

dx dy dz

olduğu gösterilebilir. Vm fonksiyonunun var olduğu bir skaler alanın her noktasında tanımlı bir vektör alanı vardır. Örneğin u(P), P noktasındaki sıcaklığı gösteriyorsa,

V «, alandaki ısı akışı vektörünün doğrultusunu gösterir.

Bir vektör alanının ıraksaması. Sürekli türevlenebilir (yani türevi var olan ve sürekli olan) her vektörel nokta fonksiyonu v(P) için çözümlemeler açısından önem taşıyan iki alan tanımlanabilir; bunlardan biri skaler bir alandır, öbürü bir vektör alanıdır. P noktasının çevresindeki bir f (P) bölgesinde bir t alanının tanımlı olduğunu ve a nun da r bölgesinin yüzeyi olduğunu kabul edelim. Konunun daha kolay anlaşılabilmesi için, v vektörünün r içinde hareket etmekte olan akışkan parçacıklarının hızını temsil ettiğini kabul edebiliriz; bölgenin dışına yönlenmiş ve bölge yüzeyine (a) dik birim vektör n olarak gösterilsin; v(P) vektörünün n doğrultusun daki bileşeni v- n olur. Bu durumda a dan dışarı akmakta olan akışkan miktarı jvndo olur. Burada integral simgesi v n çarpımının, a yüzeyinin da öğeleri üzerinde toplanacağını gösterir. Bu nedenle birim hacim başına akışkan akışı

(1/t)Ja(v ■ n)do

olur. Bu oranın r—»0 için (bu, a yüzeyinin büzülerek P noktasına indirgendiği anlamına gelir) limiti skaler bir değerdir ve v(P) vektörel fonksiyonunun ıraksaması (diver-jans) olarak adlandırılır ve div v(P) ya da

V ■ v(P) olarak gösterilir. Görüldüğü gibi div v(P), P noktasından dışarı doğru akışkan hızını belirtmektedir; div v(P) değeri P noktasında pozitif ise P noktası bir akışkan kaynağıdır, negatif ise akışkan P noktasında emilmektedir; div v(P)= 0 ise P noktasından içeri ya da dışarı akışkan akımı yoktur.

Kartezyen koodinatlarda div v(P) yalın bir formülle ifade edilir; v= vı*+V2/+V3A: olmak üzere, bu ifade şöyledir:

Bir vektör alanının rotasyoneli. Bir v(P) vektör alanına ilişkin olarak tanımlanan ve çözümlemelerde önemli yeri olan vektör alanı rotasyonel olarak adlandırılır ve rot v(P) ya davx v(P) simgesiyle gösterilir. İngilizce konuşulan ülkelerde rot v yerine curl v simgesi kullanılır. Bu alan aşağıdaki gibi tanımlanır:

rot v(P) = lim

t-0 T

Bu vektör, akışkanının herhangi bir P noktasındaki açısal hızını belirtir. Kartezyen koordinatlarda rotasyonel şu formülle verilir:

/ dv, dv2 .

Bir bölgenin her noktasında rot v=0 ise, vektör alanı dönmesiz (irrotasyonel) ya da yapraklı (lamelli) alan olarak; her P noktası için div v(P)=0 olan bir vektör alanı ise, solenoyitsel alan olarak nitelenir. Bu iki özel alan türünün önemi, bir t bölgesinde tanımlı sürekli türevlenebilir her v(P) vektör fonksiyonunun (genellikle sağlanan kimi koşullar altında) biri dönmesiz, öbürü solenoyitsel iki/(/’) ve g(P) vektör fonksiyonunun toplamı biçiminde ifade edilebilmesi gerçeğinden kaynaklanır. Bir vektör alanının böyle iki vektör alanına ayrıştırılabilme-si olanağı, fizikte karşılaşılan pek çok hız ve kuvvet alanının incelenmesinde büyük kolaylık sağlar.

Yorum yazın