Simpleks yöntemi

doğrusal programlama problemlerinin çözülmesinde uygulanan normal yöntemdir.
Simplex Metod, iki safhalıdır. Birinci safhada, program konusunun feasibility’s!, yani yapılabiliri« olanağı tesbit edilmektedir, ikinci safhada, optimal yani en uygun çözüm yolu araştırılmaktadır. Birinci safhayı atlayarak, doğrudan doğruya optimal çözümün araştırılmasına da, tatbikatta rastlanmaktadır. Optimal çözüm, aynı zamanda feasibility sorununa cevap teşkil etmektedir.
Ansiklopedinin Doğrusal Programlama maddesine verilmiş misallerden birini burada tekrarlayalım. P, kârdır. İmal edilecek mallar iki çeşit olup. Xt ve X2 dir. X2 nin beher biriminden 3 bin dolar ve Xl in beher biriminden bin dolar kâr edilecektir. Emek ve sermaye olarak, input miktarları sınırlıdn. Emek faktörünün input sınırı 100 iş saati v° sermaye faktörünün input sınırı 50 makine/saat’tir. 132 sayılı şekilde görüldüğü gibi. bütün faktörler yalnız Xt üretimine bağlanacak olursa, emek kapasitesinin 500 aded üretmeğe müsait olmasına rağmen, makine kapasi- testain ^ersizliği dolayısile imalât 125 den ibaret kalacaktır. Bütün faktörler yalnız X2 üretimine bağlanacak olursa, makine kapasitesi 83.3 tane üretim yapabilecek durumda bulunmasına rağmen, emeğin yetersizliği dolayısile erişilecek üretim düzeyi, 66.7 de kalacaktır.
Bu koşullar altında, firmanın en yüksek kân elde etmek için nasıl hareket etmesi gerekeceğini, Simplex Metod’dan yararlanarak aydınlatmak mümkündür.
Kullanılmayan emek gücünü Mx ve kullanılmayan makine gücünü M2 ile ifade edelim. Xx=80 ve X2=30 iken. Doğrusal Programlama maddesindeki misale göre, 0.2 Xt + 1.5 X2 = 61 emek/saat ve 0.4 Xx + 0.6 X2 = 50 makine/ saat durumu ile karşılaşılmaktadır. Bu durumda Mt=39 ve M2=0 dır.
Ve dolayısile, firmanın hedefi Mx = 100-0.2 Xx- 1.5 X2 M2 == 50 – 0.4 Xx- 0.6 X2 koşullarına göre P = 0 + 1 Xt + 3 X2 denkleminde P nin, yani kârın maksimizasyonudur.
Yukarıki denklemleri, matrise yerleştirelim.
Mt = 100 ve M2 = 50 olduğu yani emek ve makine kapasitelerinin kullanılmadığı durumda, üretim yapılamayacağından Xx = 0 ve X2 = 0 dır.
-M,
Matrisin sol üst köşesindeki O. amaç veya hedef fonksiyonun yahut objective function’un birinci terimidir. (Burada objective sözcüğü, amaç veya hedef anlamınadır. Ancak Türkçe literatürde. objektive function’un aynen objektif fonksiyon biçiminde nakledildiği veya amaç fonksiyon denildiği de vakidir). O (sıfır), amaç veya hedef fonksiyonunun matristeki değerini belirtmektedir.
Birinci sıranın ikinci ve üçüncü sütunlarındaki diğer terimler, yani 1 ve 3. Xx ve X2 mallarından elde edilecek birim başına kârdır. Matrisin ilk sütununun ikinci ve üçüncü sıralarındaki sabit rakamlar (100 ve 50) emek/saat ve makine/ saat kapasiteleridir. Diğer sütunlardaki eksi işaretli rakamlar ise, input katsayılarıdır.
Problemin esası, tahlil süresi başlangıcında değerleri sıfır varsayılan Xx ve X2 değişkenlerini, P yi maksimize edecek değerlerle nihaî matrise yerleştirmektir.
?X.- M.)
1 1.5 1
Bu amaca, kademeli olarak erişilmektedir.
i) Önce, X1 ve X2 değişkenlerinden en yüksek kazanç getireceği tahmin edilmekte olanı se-
ç’ılir. Misalimizde, en yüksek kazanç getireceği tahmin edilen değişken, X2 dir.
X2 nin matristeki yeri, Mx veya M2 den biri ile değiştirilir.
Burada, Mx ile değiştirilmesi tercih edilmiştir.
Değiştirme operasyonu şöyle yapılır:
Mx in değeri sıfıra indiği, yani emeğin tam kapasite ile kullanıldığı durumda, X2 nin ve diğer terimlerin değerleri araştırılır. Bu suretle, hesabın ikinci kademesine geçilir.
ii) Matrisin ilk sütunundaki emek ve sermaye input kapasiteleri, X2 sütunundaki input katsayılarına bölünür.
Eksi işaretlerini dikkate almaksızın, bu bölmeleri yapalım :
100/1.5 = 66.7 50/0.6 = 83.3
Bu sonuçların birincisi (yani 66.7), bütün emek kapasitesi harcanarak elde edilebilecek X2 miktarıdır. Üretimin sınırı, emek kapasitesidir. Eğer emeğin X2 maddesini üretme kapasitesi 66.7 ile sınırlı olmasaydı, makine gücü 83.3 adet üretim yapabilecekti.
X2 üretiminin 66.7 ye, yani emek kapasitesi sınırına çıkmasile, Mx in değeri sıfıra inmektedir. Kullanılmayan bir emek gücü kalmamaktadır.
Şimdi matriste M ile X2 nin yer değiştirmesine gelelim..
Bu değiştirmeği yapabilmek için, üçüncü sütunun ikinci sırasındaki —1.5 terimini, yani X2 üretimindeki emek input katsayısını mihver elemanı olarak kabul edelim. Mx sırasındaki terimleri, bir tane X2 üretimine harcanan emeği gösteren — 1.5 rakamına bölelim :
Mt 100 0.2 Xt 1.5 X2
-1.5 -1.5 -1.5 1.5 Hepsini — 1 ile çarpalım:
. 100 0.2 1
X, = –
1.5 1.5 1.5
X2 nin bu yeni ifadesini, diğer denklemlere nakledelim :
P = 0 + Xx + 3 X2
100 0.2 1
P = 0 + Xt + 3( X. MJ
1.5 1.5 1.5
-2M1
P = 200 + 0.6 Xx – 2 Mv yeni matrisin ilk sırası olacaktır.
Şimdi, M2 nin değerini yeni duruma göre hesaplayalım :
M2 = 50- 0.4 Xx – 0.6 X2 M2 = 50- 0.4 Xx – 0.6
100 0.2
( ~ 1.5 1.5 M,= 10- 0.32 X, + 0.4 M,.
Değerleri sıfır olan iki değişkeni, Xx ve Mt i yukarı almak suretile, temel çözüm, yeni matriste şu şekli alacaktır :
100
1.5
100
0.2 1
X – M
1.5 1.5
M, = 0.32 X, + 0.4 M,
1.5
Ve yeni matris, aşağıdaki gibi yazılacaktır :
100 0.2 10 1
2 1.5 1.5 0.32 0.32 2
0.4 1 + M.) M.
0.32 1.5
1 5
X2 = 62.5 + M. M.
2.4 6
Temel «gerçekleşebilir» çözümü gösterir nihaî matris, aşağıdaki şekli alacaktır:
100/1.!
10
0.2/1.5 0.32
-1/1.5
0.4

Optimal çözüm, Xi üretiminin 31.25 ve X2 üretiminin 62.5 olmasıdır. Bu durumda, elde edilebilecek en yüksek kâr, 218.75 dir. M2 nin yerine Xx in ikamesi mümkün olan durumlarda, bu sonuca erişilebilmektedir.
Almancası : Simplex – Lösung, Simplex – Met- hode.
Fransızcası : méthode simpliste.
İngilizcesi : simplex solution, simplex method.
(Bk; Doğrusal Programlama, İkili Doğrusal Programlama).

Etiketler: , , , , , , ,

Yorum yazın