MERKEZİ LİMİT TEOREMİ

İhtimal Teorisinin
Laplace tarafından ileri sürülmüş ve kesin ispatı Liapunof tarafından yapılmış olan önemli bir teoremidir. En basit şekli ile şöyle özetlenebilir:
Bir ana kütleden tesadüfi olarak seçilen n birimlik bir nümunenin toplamı (%xt=xl-¥x2+ … +xn) ile aritmetik ortalaması (x) in bölünmesi, (yani çok sayıda n lik nümuneler alındığı takdirde elde edilecek %xt veya x değerlerinin teşkil ettiği serinin şekli) ana kütlenin dağılımı normal olmasa bile, n nin büyümesi üzerine normal bölünmenin Standard şekline yaklaşır. Bunun şartı nümune birimlerinin birbirinden bağımsız ve ana kütle varyansının sonlu (ölçülebilir) olmasıdır. Ancak daha genel bazı teoremlere göre belirli hallerde bu iki şart da zorunlu değildir.
Merkezî limit teoreminden mühim bir pratik sonuç doğar: Büyük nümunelerin toplam ve ortalamalarına ait ihtimallerin, ana kütlenin normal dağılmaması halinde de, normal eğri tabloları yardımıyle tesbiti mümkün olur. Meselâ % 60 inin erkek olduğu bilinen bir insan topluluğundan seçilecek büyük bir nümunede erkek oranının % 70 den fazla çıkması ihtimali aranmaktadır. İki şıklı bir ana kütle bahis konusu olduğundan (seçim iadeli usûlle yapılmışsa) bu ihtimalin aslında binom formülü yardımıyla hesaplanması gerekir. Ancak n büyük olunca binom formülünün uygulanması çok zorlaştığı gibi binom bölünmesi de normale yaklaşır. Dolayı- sıyle mesele önemli bir hataya meydan verilmeden, normal eğri integrali ile çözülebilir.
Öte yandan normal eğri integralinin uygulanabilmesi için (n) in ne büyüklükte olması gerektiği hakkında genel bir hüküm verilemez. Bu husus ana kütlenin şekline bağlıdır. Ana kütle normal ise ve varyansı biliniyorsa 2 lik nümunelerin bile toplamı ve ortalaması normal bölünür. Ana kütlenin şekli normalden çok ayrıldığında ise bu ölçülerin bölünmeleri ancak (n) hayli daha büyük olduğunda normale yaklaşır. Genellikle ortalama ve toplam hususunda normal eğri integralind^n faydalanılabilmek için, /i’in hiç değilse = 30 olması lâzım, geldiği kabul edilmektedir.
Merkezî limit teoremi yalnız nümunenin toplamı ve aritmetik ortalaması için geçerlidir. Gerçi normal dağılmayan -meselâ rektangüler (dörtgense!) veya ters J şeklindeki ana kütlelerden alınacak nümunelere ait varyans gibi diğer bazı ölçülerin bölünmesinin de, n büyüyünce normale yaklaşmak eğilimini gösterdiği tesbit edilmiştir. Ne var ki. bu yaklaşmanın yavaş olduğu görüldüğü gibi normal dağılmayan diğer ana kütlelerde durum da belli değildir. Bundan dolayı toplam ve aritmetik ortalama dışındaki nümune ölçüleri hususunda normal eğri integralini kullanmakta ihtiyatlı olmak gereklidir.
n in büyümesi üzerine bir çok ihtimal bölünmelerinin meselâ Ki kar© ve i bölünmelerinin- de normale yaklaştığı kaydedilmelidir.
Almancası : zentraler Grenzwertsatz.
Fransızcası : théorème de limite centrale.
İngilizcesi : central limit theorem.

Yorum yazın