MATRİS CEBİRİ

matrisler ile yapılabilecek cebirsel işlemler hakkındaki kurallara denir. Bunların başlıcalart şöyle özetlenebilir;
1 — Eşitlik: A ve B matrislerinin eşit sayı- labilmesi, bütün i ve j ler için ai} = btj olmasına bağlıdır.
2 — Toplama ve çıkarma: A ve B matrisleri aynı mertebeden ise bunların toplamını teşkil eden C matrisinin elemanları ci} = ai} + b{i olur.
Meselâ
2 —i2 3~A =3 5B =—3 1—4 8_6 —2
2+2—1 +3 ~42~A + B -3—35+106_ —4+68—226Komütatif ve assosyatif adı verilen kurallar matrislerin toplanması hususunda geçerlidir. Komütatif kurala göre:
4 + B – B + A ,
assosyatif kurala göre de :
(A + B) + C = A + (B + C) dir.
Toplama yerine çıkarma söz konusu olduğunda yukarıdakilere benzer işlemler uygulanır ve komütatif ve asosyatif kurallar yine geçerlidir.
3 — Bir sabit He çarpma: k bir sabit’ ise bunun A matrisi, ile çarptmını, her elemanın k ile çarpılması neticesinde hasıl olan matris teşkil edeF. Meselâ k=2 için durum şöyledir.
[::]-[£ :]
Matrisin bir sabit sayı ile çarpılması hususunda aşağıdaki ilişkiler de kaydedilmelidir.
1 . A- A
(k+1)A -kA + IA
k(A+B) – kA + kB
k(IA) = kİ A
4 — Çarpma: Bu işlem ancak iki matristen ilkinin (soldaki A matrisinin) sütun sayısı n. İkincisinin (sağdaki B matrisinin) satır sayısına eşit olduğu takdirde mümkündür. Meselâ A matrisi (2X3), B matrisi (3X4) üncü mertebeden ise çarpma yapılabilir. Buna karşılık aynı A matrisi (4X5) inci mertebeden bir B matrisi ile çarpılamaz. Sözü geçen koşulun varlığı halinde çarpmanın nasıl yapıldığı aşağıdaki A ve B matrisleri göz önünde bulundurularak şöyle izah edilebilir:
6 22 4 3 ‘B =5 35 2 41 5İlkin A matrisinin birinci satırındaki n elemandan her biri B matrisinin birinci sütunundaki bakışık (mütenazır) elemanla, yani aik, bkl ile çarpılır (k—1. 2… n). Bu n çarpımın toplamı:
S aik bM ı
Çarpım matrisi C nin ilk satırının ilk sütununda yer alacak eleman (Cu) i teşkil eder. Ardınca A matrisinin aynı satırındaki elemanlar B risihin ikinci ve sonraki sütunlarında^ oakışık elemanlarla çarpılıp çarpımlar toplanarak C matrisinin pirinci satırının diğer elemanları elde edilir. A nın 2 inci, 3 üncü, . . . satırları için aynı işlemler yapılmak suretiyle de C matrisinin geri kalan satırlarına girecek elemanlar bulunur. Eldeki misal için bu hesaplar aşağıdaki sonuçları verir:
Elemanları birbirlyle çarpılacak
satırın No:sı j sütunun No:sı (A matrisinde) (B matrisinde)Çarpımlar
ve
Toplamı112×6+4×5+3×1^ = 35 = c»12I 2×2+4×3+3×5 = 31 =s c,s215x6+2×5+4×1 = 44 = c5ı225×2+2×34-4×5 = 36 = c»Buna göre C matrisi
~ f 55 3/1
C = [ 44 36 dlr’
Bundan anlaşılacağı gibi çarpım matrisi C nin mertebesi mXp (misalde 2X2) dir. Bileştiği mXp elemanın her biri de n (misalde 3) çarpımın toplamını teşkil eder.
Çarpma hususunda şu noktaları göz önünde bulundurmak gerekir :
a — Komütatif kural geçerli değildir. Yani :
AB^zBA
dır. Netekim misalde. B matrisini sola, A matrisini sağa almak suretiyle çarpma yaparsak, çarpım matrisi C 3X3 üncü mertebeden olur ve n—2 olduğundan elemanlar 2 çarpımın toplamından bileşir.
b — AB—O olursa A —0 veya B—0 kabul edilemez. Çprçekten A ve B matrislerinin sıfır matrisleri olmaması halinde de çarpım neticesinde sıfır matrisi elde edilebilir.
c — Bunun gibi AB—AC veya BA—CA olduğunda. B—C kabul olunamaz.
d — Öte yandan çarpmada assosyatif ve distributif kurallar geçerlidir. Yani :
(AB)C = AfBC)
ve
A(B + C) = AB+AC,
(B+C)Af — BA + CA
5 — Matrislerle bölme yapmak mümkün değildir. Ancak kare matrislerinin tersi (A-1) bulunabilir. Bunun usulü matris maddesinde anlatılmıştır.
Almancası : Matrixalgebra.
Fransızcası : algèbre matriciel.
İngilizcesi : matrix algebra.
(Bk; determinant, matris).

Yorum yazın