MATRİS

satır ve sütunlar halinde, dikilerek köşeli parantezler içine alınmış rakam ve sembol takımlarıdır. Meselâ
ifadeleri birer matristir. Köşeli parantez yerine köşesiz parantez veya || || şeklinde çifte çizgiler de kullanılabilir. Takımın tümü A ve B gibi büyük harflerle, elemanları küçük harflerle gösterilir. m satır sayısını, n sütun sayısını, / satırların / sütunların sıra numaralarını ifade eder. Örneğin elemanlar a lardan bileşiyorsa a23 ikinci satırın üçüncü sütunundaki eleman anlamına gelir. Matrislerin mXn olarak tanımlanan mertebeleri de vardır. Meselâ yukarıdaki A matrisi 2X3 üncü, B matrisi 3X3 üncü mertebedendir, B de olduğu gibi n~m ise matris kare matris adını alır.
Matrislerden kare şeklinde olanların determinant denilen ve kolayca hesaplanabilen tek bir rakam halinde ifadeleri mevcuttur. Diğer matrislerin böyle bir ifadesi olmayıp bunlar sadece birer tablo niteliğini taşır. Ancak türlü matematik işlemler elemanlar yerine matrisin sembolüne dayanılarak yapılabildiğinden bu matrisler de çeşitli analizlerde -bu arada girdi çıktı tablolarının . düzenlenmesi gibi işlerde- geniş ölçüde kullanılırlar.
Matrislerin türleri arasında Ukin satır ve sütun vektörlerine işaret edilebilir. Evvelkilerde m^1 sonuncularda n—1 olup , bu matrisler tek bir satır veya sütun halinde tecelli öderler,.
Evrik (transposed) matrislerin de zikredilmesi gerekir. Bunlar mXn inci mertebeden bir matrisin satır ve sütunlarının yerlerini değiştirmek suretiyle elde edilir ve asıl matrisin sembolü üzerine üstü işareti konulmak suretiyle göste-
rilir. Örneğin yukarıdaki A matrisinin evrik matrisi A’
dür.
2 3 5 6 8 4
Matrisler ayrıca, ihtiva ettikleri birbirinden doğrusal (lineer) olarak bağımsız satır veya sütunların sayısına göre de ayırd edilebilir. Bir matriste bu nitelikte satır ve sütunların maksimum sayısına o matrisin rank’ı adı verilir.
Doğrusal bağımsızlıktan maksat, matrisin bir satır veya sütunundaki elemanların 0 dan farklı bir sabit (k) ile çarpılması halinde diğer herhangi bir sütun veya satırdaki elemanların elde edilmemesidir. Aksi takdirde ilgili satır veya sütunlar bağımlı sayılır. Misal olarak aşağıdaki C ve D matrislerini inceliyelim.
C =
2521736D =3691025_ 210 _nundakine eşittir. Simetrik matrislerin evriği yine kendileri olup
A’ = A dır.
5 — Kof aktörler matrisi: Bir kare matrisin
i numaralı satır ve / numaralı sütun çıkarıldıktan sonra kalan kısmının determinantına Mti sembolü ile gösterilen minör adı verilir. Satır ve sütun sayısı n olan bir kare matriste nXn minör hesaplanabilir. Bu minörlerden aşağıdaki formül yardımıyla tâyin edilen değerlere de Kofaktör (Ky) denir.
Misaldeki B matrisinin 9 minörü ve yukarıdaki formül yardımıyle bulunan değerlerden bileşen kofaktörler matrisi şöyledir:
Minörler:Mn = -9M2l =—7Mol = —33M12 = —18M2 2 =—14M32 = —3Mıs = ~9M23 —0M33= 9Kofaktörlermatrisi:
C matrisinde birinci satırını 5 ile çarptığımızda üçüncü satır bulunduğundan bu iki satır bağımlıdır. Buna karşılık birinci ile ikinci ve ikinci ile üçüncü satırlar arasında böyle bir bağıntı yoktur. Dolayısıyle C matrisinin rank’ı 2 dir. Öte yandân D matrisinin satır ve sütunları
0 dan başka hangi sabitle çarpılırsa çarpılsın diğer bir satır ve sütun elde edilmez. Şu halde bu matrisin ihtiva ettiği bağımsız satır ve sütunların sayısı, yani rank’ı 3 dür.
Doğrusal bağımlılık ve bağımsızlık matristeki satır ve sütunlardaki rakam veya sembolleri ho- mogen bir denklem sisteminin unsurları saymak ve bu sistemin 0 dan başka çözümü olup olmadığını aramakla da anlaşılır. Jîaşka bir çözüm yoksa bağımsızlık, varsa bağımlılık mevcut demektir.
Kare matrisleri arasında çok daha fazla tip ayırd edilebilir. Başlıcaları şunlardır:
1 — Köşegen matris: Esas köşegen dışındaki bütün elemanlar 0 dır.
2 — Birim matrisi: Esas köşegende yer alan rakamlar / lerden diğerleri hep 0 lardan bileşir. Birim matrisine / işareti verilir.
3 — Üçgen matris: Esas köşegenin ya üstündeki yahut da altındaki bütün elemanlar 0 a eşktir.
—63
5-1 = –
—9 7—33 18—14 3 —9 0 9
4 — Simetrik matris: Bunlarda- elemanlar aksında …
bağıntısı vardır. Meselâ ikinci satırın üçüncü sütunundaki eleman üçüncü satırın ikinci sütu-
K„ =
—918—97—140—33396 — Ek matrisi, kofaktörler matrisinin evril- mesi. yani satır ve sütunlarına yer değiştirilmesi ile elde edilen matristir. AEK , BEK suretinde yazılır. Misalde B matrisinin ek matrisi :
—9 7 —33 = 18 -—14 3 -9 O 9 dan ibarettir.
7 — Ters matris, A*1 , B~l şeklinde gösterilir. Değeri ek matrisin asıl matrisin determinantı ile bölümünden ibarettir.
Meselâ
A-1 = –
dır.
Det A
Misalde B serisinin determinantı —63 oldu* ğundan ters matris şöyle olur:
1 1 11
7 9 21
2 2 1
7 9 21
1 1
7 7
Ters matrisin asıf matrisi ile çarpımının birim matrisini vermesi, yani
B . B-1 = I
olması zorunludur.
8 — Ortogonal matris. Evrik matrisi ile çarpımı birim matrisine eşit olan, yani
B’ . B = B . B’ = I veya B’ = B-1 koşuluna uygun matristir.
Almancası : Matrix.
* Fransızcası : matrice.
İngilizcesi : matrix.
(Bk; determinant, matris cebri).

Yorum yazın