MAKSİMUM MUHTEMELLİK METODU

tesadüfi bir nümunenin belirli bir ölçü için verdiği değere (meselâ nümune ortalaması x e) göre ana kütlenin benzer parametresini (Q) tahmine yarayan, İngiliz istatistikçisi R.A. Fisher tarafından geliştirilmiş bir metoddur. Esası, parametre için bahis konusu oiabilecek çeşitli değerlerden hangisinin nümunede elde edileni vermesi ihtimali en yüksek ise onu parametrenin tahminî değeri
A
(d) kabul etmektir. Bundan dolayı usûl Maksimum Muhtemellik Metodu olarak tanımlanabilir. Nitekim İngilizce ve fransızcada ona verilen ad ( maximum likelihood method, méthode du maximum de vraisemblance) bu anlama gelir. Buna karşılık muhtemellik için iki ayrı terimin bulunmadığı almancada metöd için İngilizce adı kullanılmaktadır.
Metodun niteliği şu misalden anlaşılabilir : Bilinmeyen oranda beyaz ve siyah yuvarlak ihtiva eden bir kaptan 3 tanesi çekilmekte (n=3) ve elde edilen beyazların oranı p ye göre, ana kütledeki beyaz oranı P tahmin edilmek istenmektedir. üç yuvarlaktan biri beyaz çıkmış, yani
1
P —— bulunmuştur. Ana kütle parametresi P türlü seviyelerde olduğuna göre 3 lük bir nümu-
nede p = — elde etmek hususunda ne kadar ih-
3
timal (L) olduğu binom formülü yardımıyle hesaplanarak aşağıya gösterilmiştir:
/
Görüldüğü gibi p = — bulmak ihtimali, ana 3
kütle parametresi P nin de — olması halinde en
3
yüksektir. Bu duruma göre parametrenin tahminî değeri
A A j
0=P =
3
kabul edilir.
Durum sembollerle şöyle ifade edilebilir:
6 nin alabileceği* türlü değerlerin ihtimali (L). nümuneye seçilmiş olan birimler-değerlerinin (xl, x2, . . . , xn) ve bizzat 0 nin fonksiyonu, yani
L = f(x1 x2. . . xn, Q)
kabul edilebilir. Nümune alınınca x{ ler belirlendiğinden seçimden sonra L sadece 0 nin fonksiyonu sayılarak bağıntı
L = f($)
suretinde düşünülebilir. (Şüphesiz L birden fazla parametreye tâbi olduğunda bu formüllerin sağındaki parantez içinde Qx, Q2. . . v.s. yer alacaktır), işte parametrenin maksimum muhtemellik metoduna uygun tahminî değeri L i maksimum yapan Q değerinden ibarettir. Fonksiyonun şekli bilindiğinde bu maksimum, L nin 0 ya nazaran kısmî türevini 0 a eşitlemek suretiyle bulunur. Bu işlem misalde bahis konusu – olan binom fonksiyonuna uygulandığında
L-mak 0 — P
n
elde edilir. Misalde n — 3 ve beyazlar 1, siyahlar 0 sayıldığına göre % xt = 1 olduğundan 1
umak
P = –
düşmektedir.
Uygulamalarda bazı tahlilleri kolaylaştırmak için, hesaplar L ler yerine log L lere göre yapı-
Iırsa da bunlar evvelkilerin monoton artan bir fonksiyonu olduğundan maksimumları L lerin de
maksimumuna tekabül eder.
Maksimum muhtemellik metodu ile parametre için bulunan değer, nümunenin bu parametreye tekabül eden ölçüsüne genellikle eşit çıkarsa da durumun her zaman böyle olması gerekmez Meselâ bölünmesi dörtgensel olan bir ana kütleden alınacak bir nümuneye göre ana kütle aritmetik ortalamasının bu metodla yapılan tahminin. nümune ortalaması yerine maksimum nü- mune değerinin 2 ile bölümü
*ma.k
2
olduğu isbat edilebilir.
Maksimum muhtemellik metodu ile yapılan tahminlerin diğer bazı usûllere dayananlara nazaran bir takım üstünlükleri vardır. Bunlar arasında aşağıdakiler belirtilmeye değer:
i) n büyüdükçe tahmin sonucunu teşkil eden değer ilişkin olduğu parametreye yaklaşır. Başka bir deyimle ikisi arasındaki farkın belirli bir miktarı aşması ihtimali gittikçe azalır. (Buna tutarlılık -consistency- adı verilir).
ii) Nümune büyüyünce tahmin sonuçlarının varyansı da belirli şartlar altında minimum olmak eğilimini gösterir (Etkililik – efficiency).
Almancası : Maximum Likelihood Methode.
Fransızcası : méthode du maximum de vraisemblance.
İngilizcesi : maximum likelihood method.
(Bk; Sondajda tahmin).

Yorum yazın