KISMİ KORELASYON

bağımsız değişkenlerden birinin diğer bağımsızın (veya bağımsızların) sabit kalması halirrde bağlı değişkenle ilişkisi demektir. Meselâ nüfus başına şeker talebi (X1) geTek fiyata (Xt) gerek gelire (X3) e tâbidir. Bu değiş-kenler için son ikisi bağımsız kabul edilmek suretiyle katlı korelasyon hesaplanmakla beraber bağımsızlardan biri (bilfarz gelir X3) sabit kaldığı takdirde diğerinin (fiyat X2) tâbi Xx ile ne kadar kuvvetli bir bağıntısı bulunacağı sorulabilir. Eldeki X3 serisinde eşit bir çok terimler bulunsaydı, bu terimlere tekabül eden Xj ve X2 değerleri ara-sındaki basit ikili korelasyonu bulmakla yukarıdaki soru cevaplandırılabilirdi. Ancak gerçekte X3 değerleri değişik olduğundan, bahis konusu ilişkinin derecesini şu surette ölçmek lâzım gelir; XJ ve değişkenlerinden X3 ün etkileri çıkarılır; yani aslî değerleri yerine bunların
*ı = aıs + bıs x3 ve
X2 = a23 + b23X 3
regresyon denklemlerinin verdiği teorik değerlerden farkları (artıklar u13 ve uu) esas tutulur. X3 ün etkilerinden arınmış olan artıklar arasındaki korelasyon, aranan kısmî korelasyonu belli eder.
Uygulamalarda bunun için uzun hesaplara ihtiyaç olmayıp söz konusu ilişkinin derecesini gösteren kısmî korelas/on katsayısı şu formülle doğrudan doğruya elde edilebilir:
ri2 ri3 r23
r]2. j = —… r
V 2 İ
v a—rja—r»)
Değişkenler sayısının 3 ve sabit tutulan değişkenin X3 olması haline ait olan bu formülün sağındaki (r) ler, indekslerindeki numaraları taşıyan iki değişken arasındaki basit korelasyon katsayılarıdır. Bunlara genel olarak sıfırıncı mertebeden korelasyon katsayıları denir. Formülün solundaki sembol ise kısmî korelasyon katsayısını gösterir. Bu sembolün indisinde 3 rakam vardır. Noktanın solundaki iki rakam tâbi değişkenle onunla ilişkisi aranan bağımsızın, noktanın sağındaki rakam ise sabit tutulan değişkenin numarasından ibarettir. İndisleri bu şekilde olan korelasyon katsayılarına da birinci mertebeden adı verilir.
Kısmî korelasyon katsayısını şu formül yardı- mıyle katlı korelasyon katsayısından da bulmak mümkündür:
2 2
^ _ ^123 ri3 12.3 ~
2
1~’ı3
Formülde /?*,.*, . katlı korelasyon katsayısının karesi.
/*13. Xx ve X3 arasındaki ikili (O ıncı mertebeden) korelasyon katsayısının karesidir.
Formülün payındaki değer, X3 den başka X2 de bağımsız değişken olarak hesaba katılınca tabideki değişmelerin izah edilebilen kısmının ne kadar arttığını, paydadaki değer ise sözü geçen değişmelerin sadece X3 göz önünde bulundurulduğunda izah edilemeyen kısmını ifade eder.
Misalde X3 (gelir) yerine X2 (fiyat)nin sabit tutulup Xx ve X3 arasındaki kısmî korelasyon araştırılabilirdi. Bu takdirde yukarıdaki formüllerden ilki şu şekli alır :
ri3 ri2 r23
ri 3 2 ~ ~ ‘ ; ;
/ 2 2
X2 ile X3 bağlı sayılabiliyorsa formülde benzer değişiklikler yapmakla r23.x de hesaplanabilir.
Dörtlü korelasyonda (meselâ şeker talebi, fiyat ve gelirden başka şehirleşme (X4) ile de izah edildiğinde) iki değişken arasındaki, diğer etkenlerden arınmış, ilişkiyi ölçebilmek için iki değişkenin sabit tutulması lâzım gelir. Bu halde kısmî korelasyon katsayısının sembolü altında dört rakamlı bir indis bulunur. Noktanın solundaki iki rakam bağlı değişkenin ve bununla ilişkisi araştırılan bağımsızın numarasını ifade eder. Meselâ rı2-34 90,ir ve şehirleşme değişkenleri sabit kaldığı takdirde talep ve gelir arasındaki kısmî kore-lasyon katsayısı demektir. Bu gibi katsayılara da ikinci mertebeden adı verilir. Hesaplanmaları için yukarıda gösterilenlerle aynı esasa dayanan formüller kullanılır. r12.34 ün formülü aşağıdaki gibidir:
ri2″ 3 ri4 3 r24 3
(1 rı4- 3) (1 r24.3)
Yani üçlü kısmî korelasyona ait formülün sağında bulunan sıfırıncı mertebeden korelasyon katsayıları yerine dörtlü korelasyonda birinci mertebeden katsayılar geçmektedir.
Aşağıdaki formülün de aynı değeri verdiği kolayca isbat edilebilir.
_ ri2 4 ri3 4 r23 4 ri234 ~ ~
Y 2 2
rj34) (1 r23-4)
Demek oluyor ki ikinci mertebeden katsayıları iki türlü birinci mertebeden katsayıya göre bulmak mümkündür.
İkinci mertebeden katsayılar ayrıca katlı kare- lasyon katsayısından da hesaplanabilir. Meselâ:

Yorum yazın