Süreklilik Nedir

Süreklilik Nedir

süreklilik, matematikte, ani kesilmeler ve sıçramalar yapmaksızın düzgün olarak değişen fonksiyon (x simgesiyle gösterilen bağımsız değişkenin her değerine, y ile gösterilen bir başka [bağımlı] değişkenin bir değerini karşılık getiren bir bağıntı) biçimindeki sezgisel kavramın matematiksel kesinliğe kavuşturulmuş ifadesi. Süreklilik, kimi zaman, “x değerleri birbirine yakınsa, y değerleri de birbirine yakın olmalıdır” biçiminde ortaya konur; ama böyle bir tanımda, “ne kadar yakın?” sorusunun karşılığının verilmiş olması gerekir.

Bağımsız değişkendeki belirli bir değişmeye karşılık gelen y değerleri farkı, fonksiyonun bu noktalar dolayındaki eğimine bağlıdır; x değerleri birbirine yakın ve fonksiyon ani sıçramalar yapmıyor olsa bile, y değerleri farkı büyük olabilir. Örneğin y=1.000x fonksiyonunda x değişkeninin 0,01 kadar değişmesi, y değerinin 10 birim değişmesine yol açar. Buna karşılık, herx noktası için bu nokta dolayında, y’deki değişimin istendiği kadar küçük olmasını sağlayacak noktalar bulunabilir; bunun için, x dolayındaki nokta ile x arasındaki uzaklığı y değerinde istenen farkın 0,001 katından daha küçük seçmek yeterlidir. Bu gözlemden yola çıkarak sürekliliğin kesin bir tanımım ortaya koymak olanaklıdır: Bir/(x) fonksiyonu ve xo noktası göz önüne alındığında, y değerleri arasındaki uzaklığın istendiği kadar küçük bir e değerine eşit olması, xo noktası ile arasındaki uzaklık <5’dan küçük olacak biçimde seçilen her x değeri için sağlanabiliyorsa, bir başka deyişle, verilen her e için böyle bir S değeri varsa, f(x) fonksiyonu xo noktasında süreklidir (yukarıda verilen örnek için <5 =0,001 e olduğu kolaylıkla görülebilir). Karşı örnek olarak x l’den küçük ya da l’e eşitken değeri sıfır, x l’den büyükken değeri 2 olan fonksiyonu göz önüne alalım. Bu fonksiyon x=l noktasında sürekli değildir, çünkü fonksiyonun x= için aldığı değer ile x l’den büyük, ama l’e istendiği kadar yakınken aldığı değer arasındaki fark hiçbir zaman 2’den küçük olamaz. Bir aralığın her noktasında sürekli olan bir fonksiyon için, bu aralıkta süreklidir denir. Sürekli fonksiyonların toplam, fark ve çarpımları da süreklidir; iki sürekli fonksiyonun oranı, paydadaki fonksiyonun sıfıra eşit olduğu noktalar dışında süreklidir. Süreklilik, limit kavramından yararlanılarak da tanımlanabilir: Bir f(x) fonksiyonu, lim f(x) =f(x0) X—*Xq koşulunu sağlıyorsa, xo noktasında süreklidir (bak. limit). Sürekliliğin daha soyut bir tanımı (topolojide yapıldığı gibi), küme kavramına dayalı olarak verilebilir; y değerlerinin oluşturduğu her kapalı kümeye karşılık gelen x değerlerinin kümesi de kapalıdır. Sürekli fonksiyonlar matematiksel çözümlemede en önemli ve en ayrıntılı incelenen fonksiyon türünü oluştururlar; fiziksel olayların incelenmesinde karşılaşılan fonksiyonlar da genellikle sürekli fonksiyonlardır.

Yorum yazın